Definizione

Il logaritmo nasce come funzione inversa dell’esponenziale: risponde alla domanda “a quale potenza devo elevare la base per ottenere un certo numero?”. In questa sezione ne diamo la definizione precisa e mettiamo subito in evidenza il vincolo fondamentale sull’argomento, che deve essere strettamente positivo.

• Definizione di logaritmo
• Il vincolo sull’argomento

The logarithm arises as the inverse function of the exponential: it answers the question “to what power must I raise the base in order to obtain a certain number?”. In this section we give its precise definition and immediately highlight the fundamental constraint on the argument, which must be strictly positive.

• Definition of logarithm
• The constraint on the argument

L’esponenziale $\exp_a(x) = a^x$ è una funzione biunivoca da $\mathbb{R}$ a $(0;+\infty)$. Per il teorema sull’esistenza dell’inversa possiamo definirne la funzione inversa: è proprio il logaritmo.

Definizione — Logaritmo

Fissata una base $a > 0$, $a \ne 1$, il logaritmo in base $a$ di un numero $y > 0$ è l’unico esponente a cui bisogna elevare $a$ per ottenere $y$: $\log_a(y) = x \iff a^x = y.$ La funzione logaritmo $\log_a:(0;+\infty)\to\mathbb{R}$ è l’inversa dell’esponenziale di base $a$.

Osservazione — Come leggere " $\log$"

$\log_2 8$ si legge “logaritmo in base $2$ di $8$” e vale $3$, perché $2^3 = 8$. Analogamente $\log_{10} 1000 = 3$, perché $10^3 = 1000$, e $\log_{1/2} 8 = -3$, perché $(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$. Il logaritmo risponde sempre alla domanda “a quale potenza?”.

Storia — Nepero e Briggs

I logaritmi furono introdotti all’inizio del Seicento dallo scozzese John Napier (italianizzato in Nepero) come strumento per trasformare le moltiplicazioni in addizioni e semplificare i calcoli astronomici. Poco dopo l’inglese Henry Briggs propose l’uso della base $10$, dando origine ai logaritmi “decimali” che per secoli furono tabulati e usati con il regolo calcolatore.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Funzione inversa · Logaritmo
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Persone: Henry Briggs · John Napier (Nepero)

The exponential $\exp_a(x) = a^x$ is a bijective function from $\mathbb{R}$ to $(0;+\infty)$. By the theorem on the existence of the inverse we can define its inverse function: this is precisely the logarithm.

Definition — Logarithm

Fixing a base $a > 0$, $a \ne 1$, the logarithm to base $a$ of a number $y > 0$ is the unique exponent to which $a$ must be raised in order to obtain $y$: $\log_a(y) = x \iff a^x = y.$ The logarithm function $\log_a:(0;+\infty)\to\mathbb{R}$ is the inverse of the exponential of base $a$.

Remark — How to read " $\log$"

$\log_2 8$ is read “logarithm to base $2$ of $8$” and equals $3$, because $2^3 = 8$. Similarly $\log_{10} 1000 = 3$, because $10^3 = 1000$, and $\log_{1/2} 8 = -3$, because $(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$. The logarithm always answers the question “to what power?”.

History — Napier and Briggs

Logarithms were introduced at the start of the seventeenth century by the Scotsman John Napier (Italianised as Nepero) as a tool for turning multiplications into additions and simplifying astronomical calculations. Shortly afterwards the Englishman Henry Briggs proposed the use of base $10$, giving rise to the “decimal” logarithms that for centuries were tabulated and used with the slide rule.

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Inverse function · Logarithm
Functions: Exponential function · Logarithmic function
People: Henry Briggs · John Napier (Nepero)

Prima di manipolare qualunque logaritmo occorre ricordare quali numeri possono comparire come argomento.

Attenzione — Vincolo sull'argomento

L’argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo: $\log_a(y)$ è definito solo per $y > 0$. Questo perché l’immagine dell’esponenziale è $(0;+\infty)$, quindi numeri non positivi non possono essere il risultato di $a^x$. È l’errore più tipico negli esercizi di Terza: dimenticare la condizione di esistenza (CE) $\text{argomento}>0$.

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Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica

Before manipulating any logarithm one must recall which numbers may appear as the argument.

Warning — Constraint on the argument

The argument of the logarithm must be strictly positive: $\log_a(y)$ is defined only for $y > 0$. This is because the image of the exponential is $(0;+\infty)$, so non-positive numbers cannot be the result of $a^x$. It is the most typical mistake in Year Three exercises: forgetting the existence condition (EC) $\text{argument}>0$.

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Topics: Logarithmic function
Concepts: Existence conditions · Logarithm
Functions: Logarithmic function

All’inizio del Seicento gli astronomi erano sommersi da calcoli: moltiplicare numeri di molte cifre, come si faceva per le posizioni dei pianeti, era lungo e pieno di errori. L’idea dei logaritmi nasce proprio da qui, dall’osservazione che le proprietà delle potenze permettono di trasformare una moltiplicazione in un’addizione. Se infatti $x = a^m$ e $y = a^n$, allora $xy = a^{m+n}$: passando agli esponenti, cioè ai logaritmi, il prodotto $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ diventa una semplice somma.

Lo scozzese John Napier — italianizzato in Nepero — pubblicò nel 1614 la Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, la prima tavola di logaritmi, frutto di circa vent’anni di calcoli. Quasi negli stessi anni, e in modo del tutto indipendente, lo svizzero Joost Bürgi, orologiaio e costruttore di strumenti alla corte di Praga, aveva compilato tavole analoghe (le Arithmetische und Geometrische Progress-Tabulen, stampate nel 1620): la sua opera però comparve più tardi ed ebbe minore diffusione, così il merito storico dell’invenzione è tradizionalmente attribuito a Nepero (Boyer; Katz).

Fu poi l’inglese Henry Briggs, professore a Oxford, a rendere i logaritmi davvero pratici. Discutendo con Nepero, propose di adottare la base $10$ e di fissare $\log_{10} 1 = 0$ e $\log_{10} 10 = 1$: nascevano così i logaritmi decimali (o “briggsiani”), i più comodi per il nostro sistema di numerazione. Briggs pubblicò estese tavole a molte cifre (l’Arithmetica Logarithmica, 1624), che per oltre tre secoli furono lo strumento di calcolo di astronomi, ingegneri e naviganti, prima di essere incarnate nel regolo calcolatore e infine soppiantate dalla calcolatrice elettronica (Dunham).

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Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo
Persone: Henry Briggs · Joost Bürgi · John Napier (Nepero)

At the start of the seventeenth century astronomers were buried in computation: multiplying many-digit numbers, as required for planetary positions, was slow and error-prone. The idea of logarithms was born precisely here, from the observation that the properties of powers let one turn a multiplication into an addition. Indeed, if $x = a^m$ and $y = a^n$, then $xy = a^{m+n}$: passing to the exponents, that is to the logarithms, the product $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$ becomes a simple sum.

The Scotsman John Napier — Italianised as Nepero — published in 1614 the Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, the first table of logarithms, the fruit of about twenty years of calculation. In almost the same years, and entirely independently, the Swiss Joost Bürgi, a clockmaker and instrument builder at the court of Prague, had compiled analogous tables (the Arithmetische und Geometrische Progress-Tabulen, printed in 1620): his work, however, appeared later and circulated less, so the historical credit for the invention is traditionally given to Napier (Boyer; Katz).

It was then the Englishman Henry Briggs, a professor at Oxford, who made logarithms truly practical. Discussing the matter with Napier, he proposed adopting base $10$ and setting $\log_{10} 1 = 0$ and $\log_{10} 10 = 1$: thus were born the common (decimal) logarithms, the most convenient for our number system. Briggs published extensive many-digit tables (the Arithmetica Logarithmica, 1624), which for over three centuries were the calculating tool of astronomers, engineers and navigators, before being embodied in the slide rule and finally superseded by the electronic calculator (Dunham).

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