Scale logaritmiche e decibel

In molti fenomeni naturali le grandezze variano su ordini di grandezza radicalmente diversi: l’intensità di un suono può spaziare da $10^{-12}$ a $10$ watt al metro quadro, l’energia dei terremoti da $10^0$ a $10^{18}$ joule, la concentrazione di ioni H$^+$ da $10^{-14}$ a $10^0$ mol/L. Rappresentare valori così diversi su una scala lineare è impossibile: si usa allora una scala logaritmica, in cui la distanza tra due valori non è la loro differenza ma il logaritmo del loro rapporto. Questa sezione applica il logaritmo alle scale reali: la scala logaritmica in sé, i decibel e altre scale notevoli (Richter, pH, magnitudini stellari).

• La scala logaritmica
• I decibel
• Altre scale logaritmiche notevoli

In many natural phenomena quantities vary over radically different orders of magnitude: the intensity of a sound can range from $10^{-12}$ to $10$ watts per square metre, the energy of earthquakes from $10^0$ to $10^{18}$ joules, the concentration of H$^+$ ions from $10^{-14}$ to $10^0$ mol/L. Representing such different values on a linear scale is impossible: one then uses a logarithmic scale, in which the distance between two values is not their difference but the logarithm of their ratio. This section applies the logarithm to real scales: the logarithmic scale itself, decibels and other notable scales (Richter, pH, stellar magnitudes).

• The logarithmic scale
• Decibels
• Other notable logarithmic scales

Quando i valori di una grandezza coprono molti ordini di grandezza, una scala lineare è inservibile: si adotta una scala logaritmica, dove ogni tacca corrisponde a una potenza della base.

Definizione — Scala logaritmica

La scala logaritmica (in base $10$) di una grandezza positiva $x$ è il numero $L = \log_{10} x$. Sull’asse logaritmico le tacche corrispondono alle potenze di $10$: $1, 10, 100, 1000, \ldots$ sono equispaziate (distanze rispettive $0,1,2,3,\ldots$).

Confronto tra scala lineare e scala logaritmica: sull’asse logaritmico le potenze di $10$ sono equispaziate.

Proprietà — Trasformazione di prodotti in somme

Sulla scala logaritmica, le moltiplicazioni nel mondo lineare diventano addizioni: $\log(xy) = \log x + \log y$. Per questo un grafico semilogaritmico trasforma le curve esponenziali in rette: se $y = A\cdot 10^{kx}$, allora $\log y = \log A + kx$, cioè $\log y$ è funzione lineare di $x$.

Esempio — Carta semilogaritmica

La crescita batterica $N(t) = N_0\cdot 2^{t/T}$ (raddoppio ogni $T$ minuti) appare come una retta su carta semilogaritmica ($\log N$ vs $t$): $\log N = \log N_0 + (t/T)\log 2$. La pendenza $\log 2 / T \approx 0{,}301/T$ permette di leggere $T$ dal grafico.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Scala logaritmica
Funzioni: Funzione logaritmica
Metodi: Scala logaritmica
Competenze: Interpretare grafico · Modellizzare

When the values of a quantity span many orders of magnitude, a linear scale is useless: one adopts a logarithmic scale, where each tick corresponds to a power of the base.

Definition — Logarithmic scale

The logarithmic scale (in base $10$) of a positive quantity $x$ is the number $L = \log_{10} x$. On the logarithmic axis the ticks correspond to the powers of $10$: $1, 10, 100, 1000, \ldots$ are equally spaced (respective distances $0,1,2,3,\ldots$).

Comparison between a linear scale and a logarithmic scale: on the logarithmic axis the powers of $10$ are equally spaced.

Property — Transforming products into sums

On the logarithmic scale, the multiplications in the linear world become additions: $\log(xy) = \log x + \log y$. For this reason a semi-logarithmic graph turns exponential curves into straight lines: if $y = A\cdot 10^{kx}$, then $\log y = \log A + kx$, that is $\log y$ is a linear function of $x$.

Example — Semi-logarithmic paper

Bacterial growth $N(t) = N_0\cdot 2^{t/T}$ (doubling every $T$ minutes) appears as a straight line on semi-logarithmic paper ($\log N$ vs $t$): $\log N = \log N_0 + (t/T)\log 2$. The slope $\log 2 / T \approx 0{,}301/T$ lets one read $T$ off the graph.

Links

Topics: Logarithmic function
Concepts: Logarithm · Logarithmic scale
Functions: Logarithmic function
Methods: Logarithmic scale
Skills: Interpret graphs · Model

Il decibel è la più comune scala logaritmica applicata: misura il rapporto tra una grandezza e un livello di riferimento.

Definizione — Decibel

Dato un livello di riferimento $P_0$, il livello in decibel di una grandezza $P$ (potenza, intensità, ecc.) è $L_P = 10\,\log_{10}\!\left(\frac{P}{P_0}\right) \quad\text{dB.}$ Per le ampiezze (pressione, tensione), che vanno al quadrato per dare la potenza, si usa $L_A = 20\,\log_{10}(A/A_0)$ dB.

Esempio — Intensità sonora

In acustica $P_0 = 10^{-12}$ W/m$^2$ è la soglia dell’udibile. Una conversazione normale ha intensità $P\approx 10^{-6}$ W/m$^2$: $L = 10\log_{10}\!\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right) = 10\log_{10}(10^6) = 10\cdot 6 = 60\ \text{dB}.$ Livelli tipici: bisbiglio $30$ dB; ufficio $50$ dB; aspirapolvere $70$ dB; concerto rock $110$ dB; soglia del dolore $130$ dB.

Proprietà — Additività dei decibel

Raddoppiare l’intensità aggiunge $10\log_{10} 2\approx 3$ dB. Decuplicarla aggiunge $10$ dB. Cento volte, $+20$ dB.

Combinando sorgenti indipendenti si sommano le intensità (linearmente), non i decibel. Per due sorgenti uguali di $60$ dB ciascuna, l’intensità totale è $2P$, quindi $L = 60 + 3 = 63$ dB (non $120$ dB).

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Decibel · Logaritmo · Scala logaritmica
Funzioni: Funzione logaritmica
Metodi: Decibel
Competenze: Calcolare · Modellizzare

The decibel is the most common logarithmic scale in practice: it measures the ratio between a quantity and a reference level.

Definition — Decibel

Given a reference level $P_0$, the level in decibels of a quantity $P$ (power, intensity, etc.) is $L_P = 10\,\log_{10}\!\left(\frac{P}{P_0}\right) \quad\text{dB.}$ For amplitudes (pressure, voltage), which are squared to give the power, one uses $L_A = 20\,\log_{10}(A/A_0)$ dB.

Example — Sound intensity

In acoustics $P_0 = 10^{-12}$ W/m$^2$ is the threshold of hearing. A normal conversation has intensity $P\approx 10^{-6}$ W/m$^2$: $L = 10\log_{10}\!\left(\frac{10^{-6}}{10^{-12}}\right) = 10\log_{10}(10^6) = 10\cdot 6 = 60\ \text{dB}.$ Typical levels: whisper $30$ dB; office $50$ dB; vacuum cleaner $70$ dB; rock concert $110$ dB; threshold of pain $130$ dB.

Property — Additivity of decibels

Doubling the intensity adds $10\log_{10} 2\approx 3$ dB. Multiplying it tenfold adds $10$ dB. A hundredfold, $+20$ dB.

When combining independent sources one adds the intensities (linearly), not the decibels. For two equal sources of $60$ dB each, the total intensity is $2P$, hence $L = 60 + 3 = 63$ dB (not $120$ dB).

Links

Topics: Logarithmic function
Concepts: Decibel · Logarithm · Logarithmic scale
Functions: Logarithmic function
Methods: Decibel
Skills: Calculate · Model

La scala logaritmica ricorre in fisica, chimica e astronomia. Ecco quattro esempi notevoli e un controesempio utile.

Esempio — Scala Richter dei terremoti

La magnitudo Richter di un sisma è $M = \log_{10}(A/A_0)$, dove $A$ è l’ampiezza massima delle onde sismiche e $A_0$ un riferimento. Un terremoto di $M=7$ ha ampiezza $10$ volte maggiore di uno di $M=6$ e $100$ volte di uno di $M=5$. L’energia rilasciata cresce come $10^{1{,}5 M}$: un grado in più $\approx 32$ volte più energia.

Esempio — pH in chimica

Il pH di una soluzione è $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$, dove $[\text{H}^+]$ è la concentrazione di ioni idrogeno in mol/L. Una soluzione neutra ($[\text{H}^+] = 10^{-7}$) ha pH $= 7$; un acido forte con $[\text{H}^+] = 10^{-1}$ ha pH $= 1$; una base con $[\text{H}^+] = 10^{-13}$ ha pH $= 13$. Una differenza di una unità di pH corrisponde a un fattore $10$ nella concentrazione.

Esempio — Magnitudine apparente delle stelle

La magnitudine apparente $m$ in astronomia è definita da $m_1 - m_2 = -2{,}5\log_{10}(F_1/F_2)$, dove $F_i$ è il flusso di luce. Una differenza di $5$ magnitudini corrisponde a un fattore $100$ in flusso (perché $-2{,}5\cdot\log_{10}(1/100) = 5$). Le stelle più luminose hanno magnitudine minore (Sirio $m = -1{,}46$; Sole $m = -26{,}74$).

Osservazione — Il numero di Mach è una scala logaritmica?

No: il numero di Mach $\text{Ma} = v/v_{\text{suono}}$ è lineare, non logaritmico. È un controesempio utile per capire la differenza: si ha una scala logaritmica $\iff$ il valore numerico è il logaritmo di un rapporto fisico.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Magnitudine apparente · Ph · Scala logaritmica · Scala richter
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Interpretare grafico · Modellizzare

The logarithmic scale recurs in physics, chemistry and astronomy. Here are four notable examples and a useful counterexample.

Example — Richter scale of earthquakes

The Richter magnitude of an earthquake is $M = \log_{10}(A/A_0)$, where $A$ is the maximum amplitude of the seismic waves and $A_0$ a reference. An earthquake of $M=7$ has an amplitude $10$ times greater than one of $M=6$ and $100$ times that of one of $M=5$. The energy released grows as $10^{1{,}5 M}$: one degree more $\approx 32$ times more energy.

Example — pH in chemistry

The pH of a solution is $\text{pH} = -\log_{10}[\text{H}^+]$, where $[\text{H}^+]$ is the concentration of hydrogen ions in mol/L. A neutral solution ($[\text{H}^+] = 10^{-7}$) has pH $= 7$; a strong acid with $[\text{H}^+] = 10^{-1}$ has pH $= 1$; a base with $[\text{H}^+] = 10^{-13}$ has pH $= 13$. A difference of one pH unit corresponds to a factor $10$ in the concentration.

Example — Apparent magnitude of stars

The apparent magnitude $m$ in astronomy is defined by $m_1 - m_2 = -2{,}5\log_{10}(F_1/F_2)$, where $F_i$ is the light flux. A difference of $5$ magnitudes corresponds to a factor $100$ in flux (because $-2{,}5\cdot\log_{10}(1/100) = 5$). The brighter stars have a smaller magnitude (Sirius $m = -1{,}46$; Sun $m = -26{,}74$).

Remark — Is the Mach number a logarithmic scale?

No: the Mach number $\text{Ma} = v/v_{\text{suono}}$ is linear, not logarithmic. It is a useful counterexample for understanding the difference: one has a logarithmic scale $\iff$ the numerical value is the logarithm of a physical ratio.

Links

Topics: Logarithmic function
Concepts: Logarithm · Apparent magnitude · pH · Logarithmic scale · Richter scale
Functions: Logarithmic function
Skills: Interpret graphs · Model