Derivate

La derivata è, prima di ogni formula, un concetto geometrico: la pendenza della retta tangente al grafico. Il capitolo segue un percorso in tre passi. Passo A: la derivata come coefficiente angolare della tangente. Passo B: la sua formalizzazione come limite del rapporto incrementale, con la notazione di Leibniz $\frac{df}{dx}$ e il differenziale. Passo C: le regole di derivazione, con il metodo del “diagramma a cerchi” per la funzione composta. Da qui il capitolo prosegue con la derivata dell’inversa, i punti di non derivabilità (angoloso, cuspide, tangente verticale), lo sviluppo di Taylor con i tre resti, il teorema di Fermat e i problemi di ottimizzazione.

Sezioni

• La derivata come pendenza della tangente
• La derivata come limite del rapporto incrementale
• Derivate delle funzioni elementari
• Derivata della funzione composta
• Derivata della funzione inversa
• Punti di non derivabilità
• Sviluppo di Taylor
• Il teorema di Fermat
• Problemi di ottimizzazione

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

The derivative is, before any formula, a geometric concept: the slope of the tangent line to the graph. The chapter follows a three-step path. Step A: the derivative as the slope of the tangent. Step B: its formalisation as the limit of the difference quotient, with Leibniz’s notation $\frac{df}{dx}$ and the differential. Step C: the rules of differentiation, with the “circle diagram” method for the composite function. From here the chapter continues with the derivative of the inverse, the points of non-differentiability (corner, cusp, vertical tangent), the Taylor expansion with the three remainders, Fermat’s theorem and optimisation problems.

Sections

• The derivative as the slope of the tangent
• The derivative as the limit of the difference quotient
• Derivatives of the elementary functions
• Derivative of the composite function
• Derivative of the inverse function
• Points of non-differentiability
• Taylor expansion
• Fermat’s theorem
• Optimisation problems

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Il teorema di Fermat collega i massimi e minimi relativi all’annullarsi della derivata: nei punti di estremo interni, se $f$ è derivabile, la tangente è orizzontale.

Teorema — Fermat

Se $f$ ha un massimo o minimo relativo in un punto interno $x_0$ del suo dominio e $f$ è derivabile in $x_0$, allora $f'(x_0) = 0$.

Osservazione — Significato geometrico

Nel punto di massimo o minimo relativo la tangente al grafico è orizzontale. I punti dove $f'(x_0)=0$ si chiamano punti stazionari o punti critici. Ma attenzione: non tutti i punti critici sono estremi (esempio: $f(x)=x^3$ ha $f'(0)=0$ ma $x=0$ è un flesso, non un estremo).

Nel punto di massimo relativo la tangente è orizzontale: $f'(x_0)=0$.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Massimo minimo · Punto stazionario · Teorema di fermat
Competenze: Studiare funzione
Persone: Pierre de Fermat

Fermat’s theorem links relative maxima and minima to the vanishing of the derivative: at interior extremum points, if $f$ is differentiable, the tangent is horizontal.

Theorem — Fermat

If $f$ has a relative maximum or minimum at an interior point $x_0$ of its domain and $f$ is differentiable at $x_0$, then $f'(x_0) = 0$.

Remark — Geometric meaning

At a relative maximum or minimum point the tangent to the graph is horizontal. The points where $f'(x_0)=0$ are called stationary points or critical points. But beware: not all critical points are extrema (example: $f(x)=x^3$ has $f'(0)=0$ but $x=0$ is an inflection point, not an extremum).

At the relative maximum point the tangent is horizontal: $f'(x_0)=0$.

Links

Topics: Derivatives
Concepts: Maximum minimum · Stationary point · Fermat’s theorem
Skills: Study a function
People: Pierre de Fermat