La derivata come limite del rapporto incrementale

Come si calcola la pendenza della tangente? Partendo dalla pendenza della secante — il rapporto incrementale — e passando al limite. Questa sezione formalizza la derivata come limite, introduce la notazione di Leibniz $\frac{df}{dx}$ e il differenziale $df = f'(x)\,dx$.

• Rapporto incrementale e derivata
• La notazione di Leibniz
• Il differenziale

How does one calculate the slope of the tangent? Starting from the slope of the secant — the difference quotient — and passing to the limit. This section formalises the derivative as a limit, introduces Leibniz notation $\frac{df}{dx}$ and the differential $df = f'(x)\,dx$.

• Difference quotient and derivative
• Leibniz notation
• The differential

Come si calcola la pendenza della tangente? Partendo dalla pendenza della secante e passando al limite: la secante è individuata da due punti, ma facendo scivolare il secondo verso il primo il rapporto delle variazioni tende a un valore ben preciso.

Definizione — Rapporto incrementale e derivata

Il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ con incremento $\Delta x$ è: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$ La derivata è il limite di questo rapporto per $\Delta x\to 0$: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

$\Delta x$ è lo spostamento orizzontale fra i due punti, $\Delta f$ quello verticale: il rapporto $\Delta f/\Delta x$ è la pendenza della secante. Al limite $\Delta x\to 0$ la secante diventa tangente e il rapporto diventa la derivata.

Esplora la costruzione nella simulazione: trascina il cursore $h$ verso $0$ e osserva la secante trasformarsi nella tangente.

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Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Limite · Rapporto incrementale
Competenze: Calcolare limiti · Interpretare grafico

How does one compute the slope of the tangent? Starting from the slope of the secant and passing to the limit: the secant is determined by two points, but by letting the second slide towards the first the ratio of the changes tends to a well-defined value.

Definition — Difference quotient and derivative

The difference quotient of $f$ at $x_0$ with increment $\Delta x$ is: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$ The derivative is the limit of this quotient as $\Delta x\to 0$: $f'(x_0) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.$

$\Delta x$ is the horizontal displacement between the two points, $\Delta f$ the vertical one: the ratio $\Delta f/\Delta x$ is the slope of the secant. In the limit $\Delta x\to 0$ the secant becomes the tangent and the ratio becomes the derivative.

Explore the construction in the simulation: drag the slider $h$ towards $0$ and watch the secant turn into the tangent.

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Topics: Derivatives
Concepts: Derivative · Limit · Difference quotient
Skills: Calculating limits · Interpreting a graph

Accanto alla scrittura $f'(x)$ dovuta a Lagrange, si usa spessissimo la notazione introdotta da Leibniz, che rende trasparente il legame fra la derivata e il passaggio al limite del rapporto incrementale.

Osservazione — Da $\Delta$ a $d$

Nella notazione di Leibniz, il passaggio al limite si indica sostituendo le $\Delta$ (incrementi finiti) con le $d$ (differenziali): $\frac{\Delta f}{\Delta x} \xrightarrow{\;\Delta x\to 0\;} \frac{df}{dx}.$ Il simbolo $\frac{df}{dx}$ si legge ”$df$ su $dx$”, e non è una frazione nel senso algebrico usuale: è un simbolo unico che indica la derivata. Tuttavia, in molti contesti si comporta come una frazione: nella regola della catena ($\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$, i $du$ si “semplificano”) e nella separazione di variabili delle equazioni differenziali ($\frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \implies \frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$).

Storia — La disputa Newton–Leibniz sulla priorità

Il calcolo differenziale fu elaborato in modo indipendente da Isaac Newton (a partire dal 1665–66, con il suo “metodo delle flussioni”) e da Gottfried Wilhelm Leibniz, che pubblicò per primo nel 1684 introducendo i simboli $dx$ e $\int$ ancora oggi in uso. Ne nacque una lunga e aspra disputa sulla priorità, alimentata dai rispettivi sostenitori e culminata nel rapporto della Royal Society del 1712, che accusò ingiustamente Leibniz di plagio (Boyer). Gli storici riconoscono oggi la scoperta come indipendente: la notazione flessibile di Leibniz, adottata sul continente, si rivelò assai più feconda di quella newtoniana, tanto che l’ostinata fedeltà alle flussioni isolò per quasi un secolo la matematica britannica (Katz).

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Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Notazione di leibniz
Persone: Gottfried Leibniz · Isaac Newton

Alongside the notation $f'(x)$ due to Lagrange, one very often uses the notation introduced by Leibniz, which makes transparent the link between the derivative and the passage to the limit of the difference quotient.

Remark — From $\Delta$ to $d$

In Leibniz notation, the passage to the limit is indicated by replacing the $\Delta$ (finite increments) with the $d$ (differentials): $\frac{\Delta f}{\Delta x} \xrightarrow{\;\Delta x\to 0\;} \frac{df}{dx}.$ The symbol $\frac{df}{dx}$ is read ”$df$ over $dx$”, and is not a fraction in the usual algebraic sense: it is a single symbol denoting the derivative. Nevertheless, in many contexts it behaves like a fraction: in the chain rule ($\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$, the $du$ “cancel out”) and in the separation of variables of differential equations ($\frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \implies \frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx$).

History — The Newton–Leibniz priority dispute

The differential calculus was developed independently by Isaac Newton (from 1665–66, with his “method of fluxions”) and by Gottfried Wilhelm Leibniz, who published first in 1684, introducing the symbols $dx$ and $\int$ still in use today. A long and bitter priority dispute ensued, fuelled by the followers of each, culminating in the 1712 report of the Royal Society, which unjustly accused Leibniz of plagiarism (Boyer). Historians today recognise the discovery as independent: Leibniz’s flexible notation, adopted on the Continent, proved far more fruitful than Newton’s, so much so that a stubborn loyalty to fluxions isolated British mathematics for almost a century (Katz).

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Topics: Derivatives
Concepts: Derivative · Leibniz notation
People: Gottfried Leibniz

Il differenziale traduce in oggetto autonomo l’idea di “variazione infinitesima lungo la tangente”: è lo strumento con cui si approssima $f$ vicino a un punto e con cui la notazione $\frac{df}{dx}$ acquista un senso preciso.

Definizione — Il differenziale

Il differenziale di $f$ nel punto $x$ con incremento $dx$ è: $df = f'(x)\cdot dx.$ Qui $dx$ è un incremento infinitesimo della variabile indipendente (è lo stesso $\Delta x$ nel limite $\Delta x\to 0$, ma scritto con la “d” per indicare che siamo già passati al limite). Il differenziale $df$ è la variazione approssimata di $f$ lungo la tangente.

Osservazione — Perché la notazione $\frac{df}{dx}$ ha senso

Se si divide il differenziale $df = f'(x)\cdot dx$ per $dx$, si ottiene $\frac{df}{dx} = f'(x)$. Ecco perché la derivata si può “leggere” come un rapporto tra il differenziale della funzione e il differenziale della variabile: non è un abuso di notazione ma una proprietà genuina dei differenziali.

Osservazione — Il differenziale come approssimazione

Geometricamente, $df$ è lo spostamento verticale lungo la retta tangente quando ci si muove di $dx$ in orizzontale. La funzione vera si sposta di $\Delta f = f(x+dx)-f(x)$, un po’ diverso da $df$ (la differenza è un “errore” di ordine $dx^2$). Ma per $dx$ piccoli, $df\approx\Delta f$ è un’ottima approssimazione.

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Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Differenziale · Notazione di leibniz
Competenze: Stimare

The differential turns the idea of an “infinitesimal variation along the tangent” into a self-standing object: it is the tool with which one approximates $f$ near a point and with which the notation $\frac{df}{dx}$ acquires a precise meaning.

Definition — The differential

The differential of $f$ at the point $x$ with increment $dx$ is: $df = f'(x)\cdot dx.$ Here $dx$ is an infinitesimal increment of the independent variable (it is the same $\Delta x$ in the limit $\Delta x\to 0$, but written with a “d” to indicate that we have already passed to the limit). The differential $df$ is the approximate variation of $f$ along the tangent.

Remark — Why the notation $\frac{df}{dx}$ makes sense

If one divides the differential $df = f'(x)\cdot dx$ by $dx$, one obtains $\frac{df}{dx} = f'(x)$. This is why the derivative can be “read” as a ratio between the differential of the function and the differential of the variable: it is not an abuse of notation but a genuine property of differentials.

Remark — The differential as an approximation

Geometrically, $df$ is the vertical displacement along the tangent line when one moves by $dx$ horizontally. The true function moves by $\Delta f = f(x+dx)-f(x)$, slightly different from $df$ (the difference is an “error” of order $dx^2$). But for small $dx$, $df\approx\Delta f$ is an excellent approximation.

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