In Seconda abbiamo visto che una retta nel piano è individuata da due condizioni geometriche: due punti, oppure un punto e il coefficiente angolare. Ma cosa succede se imponiamo una sola condizione a una retta? Il risultato non è più una singola retta, ma un’intera famiglia di rette: un fascio.
Imparare a maneggiare i fasci è la chiave per risolvere in modo elegante decine di problemi di geometria analitica: dal trovare la tangente a una curva da un punto esterno, al determinare una retta che passa per un punto e dista una quantità fissata da un altro, fino al trovare rette che soddisfano contemporaneamente due condizioni. Il capitolo distingue i fasci propri (rette per un punto fisso) dai fasci impropri (rette parallele a una direzione), introduce la potente scrittura con due generatrici e mostra il metodo generale per determinare il parametro che seleziona la retta cercata.
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Esercizi
In Year Two we saw that a line in the plane is determined by two geometric conditions: two points, or a point and the slope. But what happens if we impose just one condition on a line? The result is no longer a single line, but an entire family of lines: a pencil.
Learning to handle pencils is the key to solving elegantly dozens of analytic geometry problems: from finding the tangent to a curve from an external point, to determining a line that passes through a point and lies at a fixed distance from another, right up to finding lines that satisfy two conditions simultaneously. The chapter distinguishes proper pencils (lines through a fixed point) from improper pencils (lines parallel to a direction), introduces the powerful notation with two generators and shows the general method for determining the parameter that selects the required line.