Tangenti in x=0 e intersezioni con una retta

Testo

Per ciascuna funzione determina la retta tangente al grafico in $x=0$ e una delle intersezioni con la retta $y=-\dfrac{x}{3}-3$: a) $f(x)=-5+2e^{-x}$; b) $f(x)=-2\cos x-5$; c) $f(x)=-5\sin(2x)-2$.

Soluzione

a) $f(0)=-3$, $f'(x)=-2e^{-x}$, $f'(0)=-2$: tangente $y=-2x-3$. Poiché anche la retta passa per $(0,-3)$, l’intersezione è $(0,-3)$. b) $f(0)=-7$, $f'(x)=2\sin x$, $f'(0)=0$: tangente $y=-7$. L’intersezione con la retta ($-2\cos x-5=-\tfrac{x}{3}-3$) è transcendente: $x\approx7{,}57$. c) $f(0)=-2$, $f'(x)=-10\cos(2x)$, $f'(0)=-10$: tangente $y=-10x-2$. L’intersezione ($5\sin 2x=\tfrac{x}{3}+1$) vale $x\approx0{,}10$. $\boxed{\,a)\ y=-2x-3\quad b)\ y=-7\quad c)\ y=-10x-2\,}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Intersezione di curve · Retta · Retta tangente
Funzioni: Coseno · Funzione esponenziale · Seno
Competenze: Calcolare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Calcolo derivata