La circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è la circonferenza di centro l’origine e raggio $1$. La scelta del raggio unitario è strategica: la lunghezza di un arco coincide con la misura in radianti dell’angolo al centro, e questo permette di rappresentare ogni numero reale come un punto sulla circonferenza.

• La circonferenza goniometrica
• Dall’angolo al punto

The unit circle is the circle centred at the origin with radius $1$. The choice of unit radius is strategic: the length of an arc coincides with the radian measure of the central angle, and this allows every real number to be represented as a point on the circle.

• The unit circle
• From the angle to the point

Definizione — La circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica è la circonferenza di centro l’origine e raggio $1$ nel piano cartesiano: $\mathcal{C}_{\text{gon}}:\quad x^2 + y^2 = 1.$

La scelta del raggio $1$ è strategica: la lunghezza di un arco coincide con la misura in radianti dell’angolo al centro corrispondente. Questo permette di rappresentare un angolo geometricamente, come un cammino lungo la circonferenza goniometrica a partire da un punto di riferimento.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Circonferenza goniometrica

Definition — The unit circle

The unit circle is the circle centred at the origin with radius $1$ in the Cartesian plane: $\mathcal{C}_{\text{gon}}:\quad x^2 + y^2 = 1.$

The choice of radius $1$ is strategic: the length of an arc coincides with the radian measure of the corresponding central angle. This allows an angle to be represented geometrically, as a path along the unit circle starting from a reference point.

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Topics: Trigonometry
Concepts: Unit circle

Fissando un punto di partenza e un verso di percorrenza, ogni numero reale $\alpha$ individua un unico punto sulla circonferenza goniometrica.

Definizione — Associazione angolo → punto

Fissiamo come origine degli angoli il punto $A(1;0)$ sulla circonferenza goniometrica, e come verso positivo quello antiorario. Dato un numero reale $\alpha$ (interpretato come angolo in radianti), si associa ad $\alpha$ un unico punto $P_\alpha$ sulla circonferenza, raggiunto percorrendo un arco di lunghezza $|\alpha|$ a partire da $A$:

• in verso antiorario se $\alpha > 0$;
• in verso orario se $\alpha < 0$.

Per $\alpha$ maggiore di $2\pi$ si fa semplicemente più di un giro; per $\alpha$ minore di $-2\pi$ lo stesso, in verso opposto.

Al numero reale $\alpha$ corrisponde il punto $P_\alpha$ sulla circonferenza goniometrica: la sua ascissa è $\cos\alpha$, la sua ordinata è $\sin\alpha$.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Angolo · Circonferenza goniometrica · Radiante

By fixing a starting point and a direction of travel, every real number $\alpha$ identifies a unique point on the unit circle.

Definition — Angle → point association

We fix as the origin of angles the point $A(1;0)$ on the unit circle, and as the positive direction the anticlockwise one. Given a real number $\alpha$ (interpreted as an angle in radians), we associate with $\alpha$ a unique point $P_\alpha$ on the circle, reached by travelling an arc of length $|\alpha|$ starting from $A$:

• anticlockwise if $\alpha > 0$;
• clockwise if $\alpha < 0$.

For $\alpha$ greater than $2\pi$ one simply makes more than one full turn; for $\alpha$ less than $-2\pi$ the same, in the opposite direction.

To the real number $\alpha$ there corresponds the point $P_\alpha$ on the unit circle: its abscissa is $\cos\alpha$, its ordinate is $\sin\alpha$.

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Topics: Trigonometry
Concepts: Angle · Unit circle · Radian