Grafici delle funzioni goniometriche

Riportando su un piano cartesiano il valore di $\sin,\cos,\tan$ al variare dell’angolo si ottengono i grafici delle funzioni goniometriche: le sinusoidi di seno e coseno, che oscillano tra $-1$ e $+1$ con periodo $2\pi$, e la tangente, periodica di periodo $\pi$ e con infiniti asintoti verticali.

• Grafici di seno e coseno
• Grafico della tangente

Plotting the value of $\sin,\cos,\tan$ on a Cartesian plane as the angle varies gives the graphs of the trigonometric functions: the sine and cosine sinusoids, which oscillate between $-1$ and $+1$ with period $2\pi$, and the tangent, periodic with period $\pi$ and with infinitely many vertical asymptotes.

• Graphs of sine and cosine
• Graph of the tangent

Riportando su un piano cartesiano il valore di $\sin\alpha$ e $\cos\alpha$ al variare di $\alpha$ si ottengono due curve ondulate, le sinusoidi.

I grafici di $\sin x$ e $\cos x$ tra $-2\pi$ e $2\pi$. Entrambi oscillano tra $-1$ e $+1$, con periodo $2\pi$.

Il grafico di $\cos$ è il grafico di $\sin$ traslato di $\pi/2$ verso sinistra: $\cos\alpha = \sin(\alpha+\pi/2)$. La $\sin$ è dispari ($\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, grafico simmetrico rispetto all’origine), la $\cos$ è pari ($\cos(-\alpha)=\cos\alpha$, simmetrica rispetto all’asse $y$).

Nella simulazione seguente puoi esplorare come i parametri $A$, $B$, $C$, $D$ trasformano la sinusoide $y=A\sin(Bx+C)+D$.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Coseno · Funzione dispari · Funzione pari · Periodicita · Seno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico

Plotting on a Cartesian plane the value of $\sin\alpha$ and $\cos\alpha$ as $\alpha$ varies, one obtains two wavy curves, the sinusoids.

The graphs of $\sin x$ and $\cos x$ between $-2\pi$ and $2\pi$. Both oscillate between $-1$ and $+1$, with period $2\pi$.

The graph of $\cos$ is the graph of $\sin$ translated by $\pi/2$ to the left: $\cos\alpha = \sin(\alpha+\pi/2)$. The $\sin$ is odd ($\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$, graph symmetric about the origin), the $\cos$ is even ($\cos(-\alpha)=\cos\alpha$, symmetric about the $y$ axis).

In the simulation below you can explore how the parameters $A$, $B$, $C$, $D$ transform the sinusoid $y=A\sin(Bx+C)+D$.

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Topics: Trigonometry
Concepts: Cosine · Odd function · Even function · Periodicity · Sine
Functions: Cosine · Sine
Skills: Interpreting a graph · Drawing a graph

Anche la tangente si rappresenta su un piano cartesiano, ma il suo grafico ha un aspetto molto diverso da quello di seno e coseno.

Un ramo del grafico di $\tan x$, sull’intervallo $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$. Il ramo si ripete identico ogni $\pi$.

La tangente ha periodo $\pi$ (si ripete ogni mezzo giro). Gli asintoti verticali sono le rette $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ (dove $\cos=0$). Tra due asintoti consecutivi la funzione è strettamente crescente, passa per zero dove $\sin=0$, e tende a $\pm\infty$ quando $\alpha$ si avvicina al valore dove $\cos$ cambia segno.

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Argomenti: Goniometria
Concetti: Asintoto · Periodicita · Tangente
Funzioni: Tangente
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico

The tangent too is represented on a Cartesian plane, but its graph looks very different from that of sine and cosine.

One branch of the graph of $\tan x$, on the interval $\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)$. The branch repeats identically every $\pi$.

The tangent has period $\pi$ (it repeats every half turn). The vertical asymptotes are the lines $x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ (where $\cos=0$). Between two consecutive asymptotes the function is strictly increasing, passes through zero where $\sin=0$, and tends to $\pm\infty$ as $\alpha$ approaches the value where $\cos$ changes sign.

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Topics: Trigonometry
Concepts: Asymptote · Periodicity · Tangent
Functions: Tangent
Skills: Interpreting a graph · Drawing a graph