Dimostrazione

Tipo di esercizio — Dimostrazione.

Presente nei capitoli

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Atomi collegati

157 atomi collegati.

01 Numeri e operazioni fondamentali

• Cinque alla n meno uno è divisibile per quattro
• Cinque interi consecutivi composti
• Combinazione lineare di numeri divisibili
• Coppie di primi a distanza 6
• Coprimalità di 3a+2 e 5a+3
• Divisibilità per 45 implica per 15
• Divisibilità per 6
• Il MCD divide il minimo comune multiplo
• Il MCD non cambia sottraendo
• Il numero 247 è primo?
• Interi consecutivi coprimi
• L’unica terna di primi dispari consecutivi
• La formula genera sempre numeri primi?
• La somma di tre multipli di 7 è multipla di 7
• Multiplo di 45 con sole cifre 0 e 5
• Numeri uguali alla somma dei cubi delle cifre
• Perché ogni albero dei fattori ha lo stesso numero di coppie
• Primalità di n fattoriale meno uno
• Resti che precedono il divisore
• Resto 1 dividendo per 3, 4, 5 e 6
• Se un numero divide due, divide il terzo
• Stabilire se un numero è primo
• Terzetti di primi a distanza due
• Transitività della divisibilità

02 Calcolo letterale

• La somma di cubi n cubo più otto non è mai prima

06 Sistemi di equazioni lineari

• Verifica che (AB) inversa uguale B inversa per A inversa

07 Teoria degli insiemi

• Binomio di Newton per induzione
• Distinguere equivalenze e ordini
• Disuguaglianza 2 alla n maggiore di n quadrato
• Divisibilità di n cubo meno n per 6
• Equivalenza di due implicazioni
• Esprimere la disgiunzione esclusiva con i connettivi di base
• Il prodotto di divisori divide il prodotto
• Inclusione e intersezione uguale al sottoinsieme
• Induzione il numero di sottoinsiemi è 2 alla n
• Induzione la somma dei primi n numeri dispari
• Ipotesi, conclusione e controesempio
• L’intersezione è contenuta in ciascun insieme
• La congruenza modulo n è una relazione di equivalenza
• La divisibilità è un ordine parziale
• Ordine lessicografico e ordine sulle coppie
• Ordine totale e il minore stretto
• Semplificare espressioni logiche
• Somma dei cubi per induzione
• Tautologia contraddizione o nessuna delle due
• Tavola di verità della disgiunzione esclusiva
• Transitività dell’inclusione a catena

08 Fondamenti di geometria euclidea

• Bisettrice come asse e quadrilateri con diagonali particolari
• Problema — Angoli supplementari consecutivi sono adiacenti
• Problema — Angolo esterno alla base del triangolo isoscele è ottuso
• Problema — Angolo tra due altezze di un triangolo acutangolo
• Problema — Angolo tra due bisettrici interne di un triangolo
• Problema — Bisettrici degli angoli alla base congruenti
• Problema — Bisettrici di angoli adiacenti perpendicolari
• Problema — Bisettrici di angoli alterni interni parallele
• Problema — Bisettrici di angoli corrispondenti parallele
• Problema — Bisettrici di angoli opposti al vertice
• Problema — Complementari di angoli acuti disuguali
• Problema — Congruenza con le altezze
• Problema — Congruenza di triangoli isosceli con angolo al vertice
• Problema — Criterio di congruenza con gli angoli esterni
• Problema — I punti medi dei lati di un rettangolo formano un rombo
• Problema — Il parallelogramma di Varignon e le sue classificazioni
• Problema — Le bisettrici di un parallelogramma formano un rettangolo
• Problema — Le bisettrici di un rettangolo formano un quadrato
• Problema — Le diagonali del trapezio isoscele sono congruenti
• Problema — Le metà di angoli supplementari sono complementari
• Problema — Luogo degli estremi di segmenti congruenti e paralleli da una retta
• Problema — Luogo dei punti medi dei segmenti da un punto a una retta
• Problema — Luogo del vertice di un triangolo con base e altezza fissate
• Problema — Mediana relativa all’ipotenusa
• Problema — Mediana uguale a metà del lato implica triangolo rettangolo
• Problema — Nel trapezio la differenza delle basi è minore della somma dei lati obliqui
• Problema — Punti equidistanti sui lati di un triangolo equilatero
• Problema — Punti medi e differenza di segmenti
• Problema — Triangolo diviso dai punti medi in quattro triangoli congruenti
• Problema — Triangolo rettangolo con un angolo doppio dell’altro

09 Metodo di lavoro — come risolvere un problema

• Problema svolto — la bisettrice del triangolo isoscele

10 Equazioni di secondo grado e fratte

• Il caso del discriminante nullo

11 Disequazioni

• Dimostrare $(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2$
• Dimostrare $\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2ab}{a+b}$ per $a,b>0$
• Dimostrare $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}$
• Dimostrare $\sqrt{uv}\le\dfrac{u+v}{2}$ per $u,v\ge 0$
• Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$
• Dimostrare $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$
• Dimostrare che $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}\ge 2$ per $a>0$

14 Equivalenza e teorema di Pitagora

• I punti medi dei lati generano quattro triangoli equivalenti
• Il parallelogramma di Varignon è metà del quadrilatero
• Il quadrato sulla diagonale è doppio del quadrato
• Incommensurabilità di lato e altezza del triangolo equilatero
• La mediana divide il triangolo in due parti equivalenti
• Primo teorema di Euclide, dimostrazioni e inverso
• Quadrato dell’altezza nel triangolo equilatero
• Rettangolo dei cateti e rettangolo di ipotenusa e altezza
• Talete grande, equiscomponibilità e triangolo-parallelogramma
• Teorema della mediana e calcolo di una mediana

15 Similitudine

• Corda minima per un punto interno e media proporzionale
• Corda per il baricentro parallela a un lato
• Enunciato e dimostrazione del teorema della bisettrice
• Parallela per il baricentro e rapporto delle aree
• Parallela per l’incentro in un triangolo rettangolo
• Proporzionalità di mediane, bisettrici e altezze in triangoli simili
• Teorema della bisettrice e teorema dei punti medi
• Teorema di Talete sul fascio di rette tagliato da parallele

16 Circonferenza

• Problema — Angolo al centro triplo
• Problema — Centro sulla bisettrice dell’angolo
• Problema — Corde congruenti e il diametro
• Problema — Corde parallele dagli estremi di un diametro
• Problema — Corde parallele e archi congruenti
• Problema — Secante a due circonferenze concentriche
• Problema — Segmenti di tangenza da un punto esterno
• Problema — Tangenti agli estremi di un diametro
• Problema — Trapezio isoscele da corde parallele
• Teoria della circonferenza, corde, quadrilateri e circocentro

22 Iperbole e funzione omografica

• Iperbole equilatera xy=6

23 Funzioni, linguaggio e proprietà

• Corrispondenza biunivoca tra sottoinsiemi
• I test di sequenze non hanno risposta unica
• Il prodotto di due biiezioni è una biiezione
• Iniezione tra gli insiemi delle parti
• L’ordine puntuale tra funzioni è parziale
• Proprietà delle relazioni di inclusione e appartenenza
• Una biiezione dai naturali agli interi

26 Funzione logaritmica

• Cambiamento di base da 3 a 7

28 Circonferenza goniometrica e funzioni sin, cos, tan

• Da cartesiana a polare di una circonferenza
• Equazione polare della parabola
• Identità con arctan
• Identità con secante e tangente
• Identità con secante e tangente
• Identità fondamentale con archi complementari

29 Formule di addizione, duplicazione, bisezione

• Formula dell’angolo triplo del coseno

30 Formule parametriche, prostaferesi, Werner

• Identità sui tre angoli di un triangolo

33 Trigonometria dei triangoli

• Dimostrare la formula di Erone
• Somma di due arcotangenti
• Somma di tre arcotangenti
• Teorema della bisettrice con il teorema dei seni

36 Numeri complessi

• Baricentro delle radici
• Un ramo di iperbole

37 Geometria analitica nello spazio

• Tre piani e punto comune

39 Successioni numeriche

• Esercizio svolto — Formula di Binet per Fibonacci
• n^n
• Esercizio svolto — Radice nidificata

40 Limiti di funzioni

• n)

41 Continuità e discontinuità

• [Funzione senza massimo su 0,1]
• Iterazione di Newton per il reciproco
• Newton esatto per funzioni lineari

42 Derivate

• Derivata di ln x dalla definizione
• Teorema di Lagrange
• Teorema di Rolle

43 Studio di funzione

• Perché una funzione decrescente, positiva e concava non esiste

44 Integrale

• Piramidi equivalenti via Cavalieri
• Semisfera e cilindro via Cavalieri
• Triangoli equivalenti (Cavalieri 2D)
• Volume di rotazione via Cavalieri

45 Teoremi del calcolo

• Teorema di Lagrange per una funzione cubica
• Teorema di Lagrange su funzione a tratti con parametri
• Teorema di Lagrange su funzione a tratti esponenziale

47 Distribuzioni di probabilità

• Media della distribuzione esponenziale

Exercise type — Proof.

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Linked atoms

157 linked atoms.

Numbers and fundamental operations

• Consecutive integers are coprime
• Coprimality of 3a+2 and 5a+3
• Deciding whether a number is prime
• Divisibility by 45 implies divisibility by 15
• Divisibility by 6
• Does the formula always produce primes?
• Five consecutive composite integers
• Five to the n minus one is divisible by four
• If a number divides two of them, it divides the third
• Is 247 prime?
• Linear combination of divisible numbers
• Multiple of 45 using only the digits 0 and 5
• Numbers equal to the sum of the cubes of their digits
• Primality of n factorial minus one
• Prime pairs six apart
• Prime triples spaced by two
• Remainder 1 when dividing by 3, 4, 5 and 6
• Remainders one less than the divisor
• The gcd divides the lcm
• The gcd is unchanged by subtraction
• The only triple of consecutive odd primes
• The sum of three multiples of 7 is a multiple of 7
• Transitivity of divisibility
• Why every factor tree has the same number of splits

Literal calculus

• The sum of cubes n cubed plus eight is never prime

Systems of linear equations

• Verify that (AB) inverse equals B inverse times A inverse

Set theory

• Congruence modulo n is an equivalence relation
• Distinguishing equivalences and orders
• Divisibility is a partial order
• Divisibility of n cubed minus n by 6
• Equivalence of two implications
• Expressing the exclusive or with basic connectives
• Hypothesis, conclusion and counterexample
• Inclusion and intersection equal to the subset
• Induction the number of subsets is 2 to the n
• Induction the sum of the first n odd numbers
• Inequality 2 to the n greater than n squared
• Lexicographic order and order on pairs
• Newton’s binomial by induction
• Simplifying logical expressions
• Sum of cubes by induction
• Tautology contradiction or neither
• The intersection is contained in each set
• The product of divisors divides the product
• Total order and the strict less-than
• Transitivity of chained inclusion
• Truth table of the exclusive disjunction

Foundations of Euclidean geometry

• Problem — A median equal to half a side implies a right triangle
• Problem — A right triangle with one angle double the other
• Problem — A triangle divided by its midpoints into four congruent triangles
• Problem — Angle between two altitudes of an acute triangle
• Problem — Angle between two internal bisectors of a triangle
• Problem — Bisectors of adjacent angles are perpendicular
• Problem — Bisectors of alternate interior angles are parallel
• Problem — Bisectors of corresponding angles are parallel
• Problem — Bisectors of the base angles are congruent
• Problem — Bisectors of vertical angles
• Problem — Complements of unequal acute angles
• Problem — Congruence criterion with exterior angles
• Problem — Congruence of isosceles triangles with equal apex angle
• Problem — Congruence with the altitudes
• Problem — Consecutive supplementary angles are adjacent
• Problem — Equally spaced points on an equilateral triangle
• Problem — Halves of supplementary angles are complementary
• Problem — In a trapezoid the difference of the bases is less than the sum of the legs
• Problem — Locus of the endpoints of congruent parallel segments from a line
• Problem — Locus of the midpoints of segments from a point to a line
• Problem — Locus of the vertex of a triangle with fixed base and altitude
• Problem — Midpoints and the difference of segments
• Problem — The bisectors of a parallelogram form a rectangle
• Problem — The bisectors of a rectangle form a square
• Problem — The diagonals of an isosceles trapezoid are congruent
• Problem — The exterior angle at the base of an isosceles triangle is obtuse
• Problem — The median to the hypotenuse
• Problem — The midpoints of a rectangle’s sides form a rhombus
• Problem — Varignon’s parallelogram and its classifications
• The bisector as a perpendicular bisector, and quadrilaterals with special diagonals

Working method — how to solve a problem

• Worked problem — the bisector of the isosceles triangle

Quadratic and fractional equations

• The case of the vanishing discriminant

Inequalities

• Dimostrare $(a^2+b^2)(p^2+q^2)\ge (ap+bq)^2$
• Dimostrare $\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{2ab}{a+b}$ per $a,b>0$
• Dimostrare $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\dfrac{a+b}{2}$
• Dimostrare $\sqrt{uv}\le\dfrac{u+v}{2}$ per $u,v\ge 0$
• Dimostrare $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ per $a+b\ge 0$
• Dimostrare $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$
• Dimostrare che $\dfrac{a}{2}+\dfrac{2}{a}\ge 2$ per $a>0$

Equivalence and Pythagoras’ theorem

• A median splits a triangle into two equal-area parts
• Euclid’s first theorem, proofs and converse
• Incommensurability of the side and the altitude of an equilateral triangle
• Rectangle of the legs and rectangle of hypotenuse and altitude
• Square of the altitude in an equilateral triangle
• Thales’ theorem, equidecomposability and triangle-parallelogram
• The median-length theorem and computing a median
• The midpoints of the sides create four equal-area triangles
• The square on the diagonal is double the square
• The Varignon parallelogram is half the quadrilateral

Similarity

• Parallel through the centroid and ratio of areas
• Parallel through the incenter in a right triangle
• Problem — A chord through the centroid parallel to a side
• Problem — Proportionality of medians, bisectors and altitudes in similar triangles
• Problem — Statement and proof of the angle-bisector theorem
• Problem — Thales’ theorem on a pencil of lines cut by parallels
• Problem — The shortest chord through an interior point and the geometric mean
• The angle bisector theorem and the midpoint theorem

Circle (Euclidean geometry)

• Circle theory, chords, quadrilaterals and circumcenter
• Problem — Centre on the angle bisector
• Problem — Congruent chords and the diameter
• Problem — Isosceles trapezoid from parallel chords
• Problem — Parallel chords and congruent arcs
• Problem — Parallel chords from the endpoints of a diameter
• Problem — Secant to two concentric circles
• Problem — Tangent segments from an external point
• Problem — Tangents at the endpoints of a diameter
• Problem — Triple central angle

Hyperbola and homographic function

• Rectangular hyperbola xy=6

Functions: language and properties

• A bijection from the naturals to the integers
• Injection between power sets
• One-to-one correspondence between subsets
• Properties of the inclusion and membership relations
• Sequence tests have no unique answer
• The pointwise order on functions is partial
• The product of two bijections is a bijection

Logarithmic function

• Change of base from 3 to 7

The unit circle and the functions sine, cosine, tangent

• From Cartesian to polar for a circle
• Fundamental identity with complementary arcs
• Identity with arctan
• Identity with secant and tangent
• Identity with secant and tangent
• Polar equation of the parabola

Addition, double-angle and half-angle formulae

• Triple-angle formula for the cosine

Parametric, sum-to-product and Werner formulae

• Identity on the three angles of a triangle

Triangle trigonometry

• Angle bisector theorem via the sine rule
• Prove Heron’s formula
• Sum of three arctangents
• Sum of two arctangents

Complex numbers

• A branch of a hyperbola
• Centroid of the roots

Analytic geometry in space

• Three planes and a common point

Numerical sequences

• Worked exercise — Binet’s formula for Fibonacci
• Worked exercise — Nested radical
• n^n

Limits of Functions

• n)

Continuity and discontinuity

• [Function with no maximum on 0,1]
• Newton exact for linear functions
• Newton iteration for the reciprocal

Derivatives

• Derivative of ln x from the definition
• Lagrange’s Theorem
• Rolle’s theorem

Curve sketching

• Why a decreasing, positive, concave function cannot exist

Integral

• Equivalent pyramids via Cavalieri
• Equivalent triangles (Cavalieri 2D)
• Hemisphere and cylinder via Cavalieri
• Volume of revolution via Cavalieri

Calculus theorems

• Lagrange’s theorem for a cubic function
• Lagrange’s theorem on a piecewise exponential function
• Lagrange’s theorem on a piecewise function with parameters

Probability distributions

• Mean of the exponential distribution