Rettangolo di area massima inscritto in un triangolo isoscele

Testo

Tagli un triangolo isoscele $A\hat{B}C$ di base $\overline{AB}=4$ e altezza $\overline{CH}=6$ con una retta parallela alla base, che interseca in $D$ il lato $AC$ e in $E$ il lato $BC$. Da $D$ ed $E$ mandi le perpendicolari alla base, che la incontrano in $F$ e $G$, ottenendo il rettangolo $DEGF$. Detta $x$ l’altezza $EG$ del rettangolo, determina il valore di $x$ che rende massima l’area.

Soluzione

A un’altezza $x$ dalla base, la larghezza $DE$ del triangolo si ottiene per similitudine: il triangolo superiore, simile a $ABC$, ha altezza $6-x$, quindi $\frac{DE}{AB}=\frac{6-x}{6}\ \Longrightarrow\ DE=4\cdot\frac{6-x}{6}=4\!\left(1-\frac{x}{6}\right).$ L’area del rettangolo è $\mathcal A(x)=DE\cdot x=4\!\left(1-\frac{x}{6}\right)x=4x-\frac{2}{3}x^2,$ parabola concava verso il basso, massima nel vertice: $x=-\frac{4}{2\cdot(-\tfrac23)}=3,\qquad DE=4\!\left(1-\frac36\right)=2.$ $\boxed{x=3,\qquad \mathcal A_{\max}=2\cdot3=6.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Area · Massimo · Parabola · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione