Parallela per l'incentro in un triangolo rettangolo

Testo

Nel triangolo $A\hat{B}C$, rettangolo in $\hat{C}$, traccia la bisettrice dell’angolo interno $\hat{A}$ e quella dell’angolo interno $\hat{B}$. Esse si incontrano in un punto $I$. Manda da $I$ la parallela al lato $BC$, che incontra il lato $AC$ in $K$ e l’ipotenusa $AB$ in $R$. Dimostra che $IK:IR=AC:AB$.

Soluzione

$I$ è l’incentro (intersezione delle bisettrici). Metto il vertice retto nell’origine con i cateti sugli assi: $C(0;0),\qquad A(q;0)\ \ (q=\overline{AC}),\qquad B(0;p)\ \ (p=\overline{BC}).$ L’incentro di un triangolo rettangolo con i cateti sugli assi ha coordinate $I(r;r)$, dove $r=\dfrac{p+q-h}{2}$ è il raggio del cerchio inscritto e $h=\overline{AB}=\sqrt{p^2+q^2}$. La parallela a $BC$ (l’asse $y$) per $I$ è la retta verticale $x=r$; interseca $AC$ (asse $x$) in $K(r;0)$ e l’ipotenusa in $R(r;y_R)$. Quindi $IK=r,\qquad IR=y_R-r.$ L’ipotenusa $AB$: $\dfrac{x}{q}+\dfrac{y}{p}=1\Rightarrow y_R=p\!\left(1-\dfrac{r}{q}\right)$, da cui $IR=p-\frac{pr}{q}-r=\frac{pq-r(p+q)}{q}.$ Ora, usando $r=\dfrac{p+q-h}{2}$: $pq-r(p+q)=pq-\frac{(p+q)(p+q-h)}{2}=\frac{-h^2+(p+q)h}{2}=\frac{h(p+q-h)}{2}=h\,r.$ Dunque $IR=\dfrac{h\,r}{q}$ e $\frac{IK}{IR}=\frac{r}{\,h r/q\,}=\frac{q}{h}=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}.$ $\boxed{IK:IR=\overline{AC}:\overline{AB}.}\qquad\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Bisettrice · Incentro · Retta · Triangoli simili · Triangolo rettangolo
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Dimostrazione