Rettangolo di area massima in un triangolo isoscele (base 5, altezza 8)

Testo

Tagli un triangolo isoscele $A\hat{B}C$ di base $\overline{AB}=5$ e altezza $\overline{CH}=8$ con una retta parallela alla base, che interseca in $D$ il lato $AC$ e in $E$ il lato $BC$. Da $D$ ed $E$ mandi le perpendicolari alla base, che la incontrano in $F$ e $G$, ottenendo il rettangolo $DEGF$. Detta $x$ l’altezza $EG$ del rettangolo, determina il valore di $x$ che rende massima l’area.

Soluzione

A un’altezza $x$ dalla base, per similitudine la larghezza $DE$ è $\frac{DE}{AB}=\frac{8-x}{8}\ \Longrightarrow\ DE=5\!\left(1-\frac{x}{8}\right).$ L’area del rettangolo è $\mathcal A(x)=DE\cdot x=5x-\frac{5}{8}x^2,$ parabola concava verso il basso, massima nel vertice: $x=-\frac{5}{2\cdot(-\tfrac58)}=4,\qquad DE=5\!\left(1-\frac48\right)=\frac52.$ $\boxed{x=4,\qquad \mathcal A_{\max}=\frac52\cdot4=10.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Area · Massimo · Parabola · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione