Triangolo isoscele di area massima con lato obliquo fissato

Testo

Tra tutti i triangoli isosceli di lato obliquo $8$, determina quello di area massima. (Suggerimento: poni l’altezza uguale a $x$, la base uguale a $y$, e calcola l’area al quadrato.)

Soluzione

Sia $x$ l’altezza e $y$ la base. Il piede dell’altezza divide la base a metà, quindi il teorema di Pitagora sul mezzo triangolo dà $\left(\frac{y}{2}\right)^2+x^2=8^2=64\ \Longrightarrow\ y^2=4(64-x^2).$ L’area è $\mathcal A=\dfrac12\,x\,y$, quindi $\mathcal A^2=\frac14 x^2 y^2=\frac14 x^2\cdot4(64-x^2)=x^2(64-x^2)=64x^2-x^4.$ Ponendo $u=x^2$: $\ \mathcal A^2=64u-u^2$, parabola in $u$ concava verso il basso, massima in $u=\dfrac{64}{2}=32$. Quindi $x=\sqrt{32}=4\sqrt2\approx5{,}66,\qquad y=2\sqrt{64-32}=2\sqrt{32}=8\sqrt2\approx11{,}31,$ $\mathcal A^2=64\cdot32-32^2=1024\ \Longrightarrow\ \boxed{\mathcal A_{\max}=32.}$ (Il triangolo ottimo è rettangolo nell’apice: $x=y/2=4\sqrt2$.)

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Area · Massimo · Parabola · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria sintetica · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione