Distanze e intersezioni tra retta e parabola

Testo

Considera il punto $M(-1;3)$, la retta $d:2x+y-4=0$ e la parabola $y=\dfrac{x^2}{2}+3x+4$:

• (a) determina la distanza tra $M$ e la retta $d$;
• (b) determina la distanza tra $M$ e il vertice della parabola;
• (c) trova le intersezioni tra $d$ e la parabola.

Soluzione

(a) Distanza punto-retta. Con $d:2x+y-4=0$ (cioè $A=2$, $B=1$, $C=-4$) e $M(-1;3)$: $d(M,d)=\frac{|2(-1)+3-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|-3|}{\sqrt5}=\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5}\approx 1.342$

(b) Distanza dal vertice. Il vertice della parabola ha $x_V=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3}{2\cdot\frac12}=-3$ e $y_V=\dfrac{(-3)^2}{2}+3(-3)+4=-\dfrac12$, quindi $V\left(-3;-\dfrac12\right)$. $d(M,V)=\sqrt{(-1+3)^2+\left(3+\tfrac12\right)^2}=\sqrt{4+\tfrac{49}{4}}=\sqrt{\tfrac{65}{4}}=\frac{\sqrt{65}}{2}\approx 4.031$

(c) Intersezioni retta-parabola. Dalla retta $d$: $y=-2x+4$. Sostituisco nella parabola: $-2x+4=\frac{x^2}{2}+3x+4 \;\Longrightarrow\; 0=\frac{x^2}{2}+5x \;\Longrightarrow\; x\left(\frac{x}{2}+5\right)=0$ da cui $x=0$ (allora $y=4$) e $x=-10$ (allora $y=-2(-10)+4=24$). I punti sono $(0;4)$ e $(-10;24)$. $\boxed{d(M,d)=\tfrac{3\sqrt5}{5}\approx1.342\quad d(M,V)=\tfrac{\sqrt{65}}{2}\approx4.031\quad (0;4),\ (-10;24)}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Distanza punto retta · Distanza tra punti · Intersezione retta parabola · Parabola · Piano cartesiano · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico