Parabola di vertice dato tangente a una retta

Testo

Nel sacchetto di infinite parabole di vertice $V(-3;0)$, determina quella (o quelle) tangente alla retta $y=-x+1$.

Soluzione

Ogni parabola di vertice $V(-3;0)$ ha equazione $y=a(x+3)^2$. Imponiamo l’intersezione con la retta: $a(x+3)^2 = -x+1 \implies a(x+3)^2 + x - 1 = 0.$ Ponendo $u=x+3$ (quindi $x=u-3$): $au^2 + (u-3) - 1 = au^2 + u - 4 = 0$. La tangenza richiede $\Delta = 1 + 16a = 0 \implies a = -\frac{1}{16}.$ Esiste un’unica parabola: $\boxed{y=-\frac{1}{16}(x+3)^2}$ Il punto di tangenza è $(5;-4)$.

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Parabola · Retta · Retta tangente · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico