Rette tangenti a una parabola da un punto esterno

Testo

Data la parabola $y = 2 - 2x^2$, determina le equazioni delle due rette tangenti al suo grafico passanti per il punto $A(-2;2)$.

Soluzione

Il punto $A(-2;2)$ è esterno alla parabola (infatti $y(-2)=2-8=-6\neq 2$). Il fascio di rette per $A$ ha equazione $y = m(x+2) + 2.$ Imponiamo l’intersezione con la parabola: $m(x+2)+2 = 2-2x^2 \implies 2x^2 + mx + 2m = 0.$ La condizione di tangenza è discriminante nullo: $\Delta = m^2 - 4\cdot 2\cdot 2m = m^2 - 16m = 0 \implies m(m-16)=0 \implies m=0 \ \vee\ m=16.$

• $m=0$: retta $y=2$ (tangente orizzontale nel vertice $(0;2)$);
• $m=16$: retta $y=16(x+2)+2 = 16x+34$ (tangente nel punto $(-4;-30)$).

$\boxed{y=2 \qquad\text{e}\qquad y=16x+34}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Parabola · Retta · Retta tangente
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico