Angolo tra due parabole

Testo

Sotto quale angolo si intersecano le parabole $y=2x^{2}+1$ e $y=x^{2}-x+3$?

Soluzione

Intersezioni: $2x^{2}+1=x^{2}-x+3\Rightarrow x^{2}+x-2=0\Rightarrow x=1,\ x=-2$, cioè $A=(1,3)$ e $B=(-2,9)$. Pendenze: $y_1'=4x$, $y_2'=2x-1$. L’angolo tra due rette di pendenze $m_1,m_2$ soddisfa $\tan\theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|$.

• In $A$ ($x=1$): $m_1=4$, $m_2=1$, $\tan\theta=\left|\dfrac{3}{5}\right|=0{,}6\Rightarrow \theta\approx30{,}96^\circ$.
• In $B$ ($x=-2$): $m_1=-8$, $m_2=-5$, $\tan\theta=\left|\dfrac{-3}{41}\right|\approx0{,}0732\Rightarrow \theta\approx4{,}18^\circ$. $\boxed{\theta_A\approx30{,}96^\circ,\qquad \theta_B\approx4{,}18^\circ}$

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Derivata · Intersezione di curve · Retta · Retta tangente
Funzioni: Parabola
Competenze: Derivare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Calcolo derivata