Studio di ln(x²−4)

Testo

Studiare $f(x) = \ln(x^2-4)$ (dominio, asintoti, simmetrie, segno, $f'$, $f''$, grafico).

Soluzione

Dominio: $x^2-4>0 \Rightarrow x\in(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$. Simmetria: $f(-x)=f(x)$, funzione pari.

Segno: $f(x)>0 \iff x^2-4>1 \iff |x|>\sqrt5$; $f=0$ in $x=\pm\sqrt5$.

Asintoti: $\lim_{x\to 2^+}f = -\infty$ e $\lim_{x\to -2^-}f=-\infty$: asintoti verticali $x=\pm 2$. Per $x\to\pm\infty$, $f\to+\infty$ (nessun asintoto orizzontale).

Derivata prima: $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2-4}$. Sul ramo $x>2$: $f'>0$ (crescente); sul ramo $x<-2$: $f'<0$ (decrescente). Nessun punto stazionario nel dominio.

Derivata seconda: $f''(x)=\dfrac{2(x^2-4)-2x\cdot 2x}{(x^2-4)^2}=\dfrac{-2x^2-8}{(x^2-4)^2}<0$ su tutto il dominio: concava verso il basso su entrambi i rami.

Collegamenti

Argomenti: Derivate
Concetti: Asintoto · Derivata composta
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Studiare funzione · Tracciare grafico
Tipo di esercizio: Studio di funzione