Grafico di una funzione dati segno e limiti

Testo

Disegna un possibile grafico di una funzione $f$ con queste caratteristiche:

• negativa per $x<-8$, positiva per $-8<x<1$, negativa per $x>1$;
• $\displaystyle\lim_{x\to-8^-}f=-\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to-8^+}f=4$, $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f=9$, $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f=-9$, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f=-4$, $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f=-\infty$.

Soluzione

Il grafico (non unico) può essere costruito così:

• per $x\to-\infty$ la curva tende all’asintoto orizzontale $y=-4$ restando negativa; avvicinandosi a $x=-8$ da sinistra precipita a $-\infty$: $x=-8$ è asintoto verticale (da sinistra).
• a destra di $-8$ la funzione riparte da valore $4$ (limite destro finito, discontinuità di salto in $x=-8$) e resta positiva salendo fino a $9$ per $x\to1^-$.
• in $x=1$ c’è un secondo salto: da $9$ a $-9$; per $x>1$ la funzione è negativa e tende a $-\infty$ per $x\to+\infty$. Le due discontinuità di salto sono in $x=-8$ (con asintoto verticale sinistro) e in $x=1$; l’unico asintoto orizzontale è $y=-4$ a $-\infty$. $\boxed{\text{Asintoto verticale }x=-8\ (\text{da sinistra}),\ \text{orizzontale }y=-4\ (x\to-\infty),\ \text{salti in }x=-8,\,1}$

Collegamenti

Argomenti: Limiti
Concetti: Asintoto · Asintoto orizzontale · Asintoto verticale · Limite · Limite destro sinistro · Segno di funzione
Competenze: Interpretare grafico · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Studio di funzione