Successioni numeriche

Prima di studiare il limite di una funzione di variabile reale, conviene lavorare con un caso più semplice e visivo: il limite di una successione. Una successione è una lista infinita e ordinata di numeri reali, e la domanda tipica è “a quale numero si avvicinano i suoi termini?”. Il capitolo introduce la definizione e la notazione $(a_n)$, le successioni per ricorrenza, le due grandi famiglie delle progressioni aritmetica e geometrica con le loro formule di somma, la definizione rigorosa di limite con i suoi tre quantificatori, le successioni monotone e limitate con il teorema di convergenza, la successione $(1+1/n)^n$ che definisce il numero di Eulero $e$, il legame tra successioni e funzioni reali e, infine, un rimando alla serie geometrica. È il primo passo, discreto, verso l’analisi.

Sezioni

• Definizione e notazione
• Progressioni aritmetiche e geometriche
• Limite di una successione
• Successioni monotone
• La successione che definisce il numero e
• Relazione tra successioni e funzioni reali
• Serie geometrica (rimando)

Approfondimenti

• L’aneddoto di Gauss bambino
• La leggenda della scacchiera
• Lettura linguistica dei quantificatori

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Before studying the limit of a function of a real variable, it is helpful to work with a simpler and more visual case: the limit of a sequence. A sequence is an infinite, ordered list of real numbers, and the typical question is “which number do its terms approach?”. The chapter introduces the definition and the notation $(a_n)$, recursively defined sequences, the two great families of arithmetic and geometric progressions with their summation formulae, the rigorous definition of a limit with its three quantifiers, monotone and bounded sequences with the convergence theorem, the sequence $(1+1/n)^n$ that defines Euler’s number $e$, the link between sequences and real functions and, finally, a cross-reference to the geometric series. It is the first, discrete, step towards analysis.

Sections

• Definition and notation
• Arithmetic and geometric progressions
• Limit of a sequence
• Monotone sequences
• The sequence that defines the number e
• Relationship between sequences and real functions
• Geometric series (cross-reference)

Further reading

• The anecdote of the young Gauss
• The legend of the chessboard
• A linguistic reading of the quantifiers

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

Successioni e funzioni reali sono strettamente legate: una successione può essere vista come la restrizione ai numeri naturali di una funzione di variabile reale.

Se $(a_n)$ deriva da una funzione $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ per restrizione ai naturali, cioè $a_n = f(n)$, allora il limite della successione $a_n$ coincide con il limite per $x\to+\infty$ della funzione, se quest’ultimo esiste: $\lim_{x\to+\infty}f(x) = L \implies \lim_{n\to+\infty}a_n = L.$

Il viceversa, in generale, è falso: $f(x) = \sin(\pi x)$ ha $f(n) = 0$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ (successione costante, limite $0$), ma $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ non esiste perché $f$ oscilla.

Esempio — Calcolo di un limite di successione via funzione

$a_n = n\sin(1/n)$. Consideriamo $f(x) = x\sin(1/x)$ con $x\to+\infty$ e sostituiamo $t = 1/x$ (per $x\to+\infty$ si ha $t\to 0^+$): $f(x) = \dfrac{\sin t}{t} \to 1$. Dunque $a_n\to 1$.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione
Competenze: Calcolare limiti

Sequences and real functions are closely linked: a sequence can be seen as the restriction to the natural numbers of a function of a real variable.

If $(a_n)$ arises from a function $f:\mathbb{R}_{>0}\to\mathbb{R}$ by restriction to the naturals, that is $a_n = f(n)$, then the limit of the sequence $a_n$ coincides with the limit as $x\to+\infty$ of the function, if the latter exists: $\lim_{x\to+\infty}f(x) = L \implies \lim_{n\to+\infty}a_n = L.$

The converse, in general, is false: $f(x) = \sin(\pi x)$ has $f(n) = 0$ for every $n\in\mathbb{N}$ (constant sequence, limit $0$), but $\lim_{x\to+\infty}f(x)$ does not exist because $f$ oscillates.

Example — Computing a limit of a sequence via a function

$a_n = n\sin(1/n)$. Consider $f(x) = x\sin(1/x)$ with $x\to+\infty$ and substitute $t = 1/x$ (as $x\to+\infty$ we have $t\to 0^+$): $f(x) = \dfrac{\sin t}{t} \to 1$. Hence $a_n\to 1$.

Links

Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence
Skills: Computing limits

Le somme parziali $S_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n$ formano a loro volta una successione, il cui limite si chiama somma della serie.

La serie geometrica $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty q^n$ con $|q|<1$ converge a $\dfrac{1}{1-q}$: è il caso fondamentale già incontrato nella Seconda (“serie geometriche di aree”), riformulato qui come limite di una successione di somme.

Questo rimando chiude il cerchio del capitolo: il limite di successione, introdotto per capire “verso quale numero tendono i termini”, diventa lo strumento che dà senso alla somma di infiniti addendi.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Progressione geometrica · Serie geometrica

The partial sums $S_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n$ form in turn a sequence, whose limit is called the sum of the series.

The geometric series $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty q^n$ with $|q|<1$ converges to $\dfrac{1}{1-q}$: it is the fundamental case already met in Year Two (“geometric series of areas”), reformulated here as the limit of a sequence of sums.

This cross-reference closes the loop of the chapter: the limit of a sequence, introduced to understand “which number the terms tend to”, becomes the tool that gives meaning to the sum of infinitely many terms.

Links

Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Geometric progression · Geometric series