Definizione e notazione

Una successione è una funzione definita sui numeri naturali: una lista infinita e ordinata di numeri reali. In questa sezione si fissano la definizione e la notazione $(a_n)$, si distingue tra assegnazione esplicita e assegnazione per ricorrenza, e si incontrano le due famiglie fondamentali, aritmetica e geometrica, che verranno poi studiate in dettaglio.

• Successione: definizione e notazione
• Successioni definite per ricorrenza
• Successioni aritmetiche e geometriche

A sequence is a function defined on the natural numbers: an infinite, ordered list of real numbers. In this section we fix the definition and the notation $(a_n)$, we distinguish between explicit assignment and assignment by recurrence, and we meet the two fundamental families, arithmetic and geometric, which will then be studied in detail.

• Sequence: definition and notation
• Sequences defined by recurrence
• Arithmetic and geometric sequences

Prima di studiare il limite di una funzione di variabile reale, conviene lavorare con un caso più semplice e visivo: il limite di una successione. Una successione è una lista infinita ordinata di numeri reali; le domande tipiche sono “a quale numero si avvicinano i termini della lista? si avvicinano a un valore preciso oppure crescono indefinitamente?”. La risposta a queste domande è il primo, fondamentale, passo verso l’analisi.

Definizione — Successione

Una successione di numeri reali è una funzione $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$. Il valore in $n$ si indica con $a_n$ (invece di $a(n)$) e si chiama termine $n$-esimo della successione. La successione si denota $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ o semplicemente $(a_n)$.

Esempio

• $a_n = n$:   $0, 1, 2, 3, \ldots$ (successione dei naturali).
• $a_n = 1/n$ per $n\ge 1$:   $1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots$
• $a_n = (-1)^n$:   $1, -1, 1, -1, \ldots$ (oscillante).
• $a_n = 2^n$:   $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ (geometrica di ragione $2$).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Successione · Termine generale

Before studying the limit of a function of a real variable, it is convenient to work with a simpler and more visual case: the limit of a sequence. A sequence is an infinite ordered list of real numbers; the typical questions are “what number do the terms of the list approach? do they approach a precise value or do they grow indefinitely?”. The answer to these questions is the first, fundamental, step towards analysis.

Definition — Sequence

A sequence of real numbers is a function $a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$. The value at $n$ is denoted by $a_n$ (instead of $a(n)$) and is called the $n$-th term of the sequence. The sequence is denoted $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ or simply $(a_n)$.

Example

• $a_n = n$:   $0, 1, 2, 3, \ldots$ (sequence of the natural numbers).
• $a_n = 1/n$ for $n\ge 1$:   $1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots$
• $a_n = (-1)^n$:   $1, -1, 1, -1, \ldots$ (oscillating).
• $a_n = 2^n$:   $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$ (geometric with common ratio $2$).

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Topics: Sequences
Concepts: Sequence · General term

Oltre a essere assegnata da una formula esplicita per $a_n$, una successione può essere descritta indicando come costruire ogni termine a partire dai precedenti.

Definizione — Successione per ricorrenza

Una successione si dice definita per ricorrenza se, assegnando il primo termine (o i primi $k$ termini) e una regola che esprime $a_{n+1}$ in funzione di $a_n$ (o di più termini precedenti), si determina ogni termine successivo.

Esempio — Successione di Fibonacci

$F_0 = 0$, $\;F_1 = 1$, $\;F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$

Storia — I conigli di Fibonacci

Nel Liber Abaci (1202) Leonardo Fibonacci (Leonardo Pisano) propose un problema divenuto celebre: quante coppie di conigli discendono in un anno da una sola coppia, se ogni coppia diventa feconda dopo un mese e da allora ne genera una nuova ogni mese? Contando mese per mese si ottiene $1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$, dove ciascun termine è la somma dei due precedenti: proprio la successione definita qui per ricorrenza (Boyer). Fibonacci la usò solo come esempio pratico di calcolo; il nome «successione di Fibonacci» fu coniato molto più tardi, nell’Ottocento, dal matematico francese Édouard Lucas (Katz).

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Argomenti: Successioni
Concetti: Successione · Successione per ricorrenza
Persone: Leonardo Fibonacci · Édouard Lucas

As well as being given by an explicit formula for $a_n$, a sequence can be described by indicating how to build each term starting from the previous ones.

Definition — Sequence by recurrence

A sequence is said to be defined by recurrence if, by assigning the first term (or the first $k$ terms) and a rule that expresses $a_{n+1}$ in terms of $a_n$ (or of several previous terms), every subsequent term is determined.

Example — Fibonacci sequence

$F_0 = 0$, $\;F_1 = 1$, $\;F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$: $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$

History — Fibonacci's rabbits

In the Liber Abaci (1202) Leonardo Fibonacci (Leonardo of Pisa) posed a problem that became famous: how many pairs of rabbits descend in a year from a single pair, if each pair becomes fertile after one month and from then on produces a new pair every month? Counting month by month gives $1, 2, 3, 5, 8, 13, \ldots$, where each term is the sum of the two before it — exactly the sequence defined here by recurrence (Boyer). Fibonacci used it only as a practical calculation example; the name “Fibonacci sequence” was coined much later, in the nineteenth century, by the French mathematician Édouard Lucas (Katz).

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Topics: Sequences
Concepts: Sequence · Sequence by recurrence
People: Leonardo Fibonacci

Fra le successioni definite per ricorrenza, due famiglie sono così frequenti da avere un nome proprio: quelle in cui a ogni passo si somma una costante e quelle in cui a ogni passo si moltiplica per una costante.

Esempio — Successione aritmetica e geometrica

• Aritmetica di primo termine $a_0$ e ragione $d$:   $a_{n+1} = a_n + d$,   da cui $a_n = a_0 + n\,d$.
• Geometrica di primo termine $a_0$ e ragione $q$:   $a_{n+1} = q\,a_n$,   da cui $a_n = a_0\,q^n$.

Nella successione aritmetica il termine cresce (o decresce) di una quantità fissa a ogni passo; in quella geometrica viene ripetutamente moltiplicato per un fattore fisso. Queste due famiglie hanno nomi storici e formule chiuse ben note, che vengono formalizzate nella sezione seguente.

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Argomenti: Successioni
Concetti: Progressione aritmetica · Progressione geometrica · Ragione · Successione per ricorrenza

Among the sequences defined by recurrence, two families are so frequent that they have a name of their own: those in which at each step a constant is added and those in which at each step there is a multiplication by a constant.

Example — Arithmetic and geometric sequence

• Arithmetic with first term $a_0$ and common difference $d$:   $a_{n+1} = a_n + d$,   from which $a_n = a_0 + n\,d$.
• Geometric with first term $a_0$ and common ratio $q$:   $a_{n+1} = q\,a_n$,   from which $a_n = a_0\,q^n$.

In the arithmetic sequence the term grows (or decreases) by a fixed quantity at each step; in the geometric one it is repeatedly multiplied by a fixed factor. These two families have historical names and well-known closed formulae, which are formalised in the following section.

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Concepts: Arithmetic progression · Geometric progression · Common ratio · Sequence by recurrence

Leonardo Pisano, detto Fibonacci («figlio di Bonaccio»), fu il più importante matematico europeo del Medioevo. Cresciuto a Bugia, sulla costa del Nordafrica, dove il padre dirigeva un fondaco di mercanti pisani, imparò dai maestri arabi il sistema di numerazione indo-arabico con le nove cifre e lo zero. Nel Liber Abaci (1202) lo introdusse in Occidente, dove i mercanti calcolavano ancora con i numeri romani e l’abaco, e mostrò con centinaia di problemi quanto fosse più potente per il commercio, il cambio delle monete e la contabilità.

In quel libro compare il problema che lo ha reso celebre: partendo da una coppia di conigli che ogni mese, una volta matura, genera una nuova coppia, il numero di coppie mese per mese è $1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \ldots$ Ogni termine è la somma dei due precedenti, cioè la successione definita per ricorrenza $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$. Curiosamente, la successione era già nota agli studiosi indiani (per esempio a Pingala e Hemachandra) in relazione al conteggio dei ritmi poetici, secoli prima del Liber Abaci.

Il legame con la sezione aurea fu notato solo più tardi. Già Euclide, negli Elementi, aveva definito la divisione di un segmento «in media ed estrema ragione»: il rapporto aureo $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1{,}618.$ Nel Seicento Keplero osservò che il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi si avvicina sempre più a $\varphi$: $\frac{F_{n+1}}{F_n} \longrightarrow \varphi \qquad (n \to +\infty),$ un fatto che oggi si dimostra con la formula di Binet. Così un problema di conigli, nato come esercizio di aritmetica mercantile, si è rivelato una delle successioni più studiate della matematica (Boyer, Katz).

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Concetti: Fibonacci · Successione · Successione per ricorrenza
Persone: Euclide · Leonardo Fibonacci · Johannes Kepler (Keplero)

Leonardo of Pisa, known as Fibonacci (“son of Bonaccio”), was the most important European mathematician of the Middle Ages. He grew up in Bugia, on the North African coast, where his father ran a trading post for Pisan merchants, and there he learned the Hindu-Arabic numeral system — the nine digits and zero — from Arab teachers. In the Liber Abaci (1202) he introduced it to the West, where merchants still calculated with Roman numerals and the abacus, showing through hundreds of problems how much more powerful it was for trade, currency exchange and bookkeeping.

That book contains the problem that made him famous: starting from a pair of rabbits that, once mature, produces a new pair every month, the number of pairs month by month is $1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ \ldots$ Each term is the sum of the two before it, that is, the sequence defined by the recurrence $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$. Curiously, the sequence was already known to Indian scholars (for example Pingala and Hemachandra) in connection with counting poetic rhythms, centuries before the Liber Abaci.

The link with the golden ratio was noticed only later. Already Euclid, in the Elements, had defined dividing a segment “in extreme and mean ratio”: the golden number $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2} \approx 1.618.$ In the seventeenth century Kepler observed that the ratio of two consecutive Fibonacci numbers approaches $\varphi$ ever more closely: $\frac{F_{n+1}}{F_n} \longrightarrow \varphi \qquad (n \to +\infty),$ a fact proved today with Binet’s formula. So a problem about rabbits, born as an exercise in merchants’ arithmetic, turned out to be one of the most studied sequences in mathematics (Boyer, Katz).

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Concepts: Sequence · Sequence by recurrence · Fibonacci
People: Leonardo Fibonacci · Euclid · Kepler