La successione che definisce il numero e

Un’applicazione celebre del teorema delle successioni monotone limitate: la successione $(1+1/n)^n$ è crescente e limitata superiormente, e il suo limite è il numero di Eulero $e\approx 2{,}71828$. La sezione ne mostra anche il significato finanziario (capitalizzazione continua) e il grafico che converge alla retta $y = e$.

• Il numero e come limite di successione
• Significato finanziario e grafico

A celebrated application of the theorem on bounded monotone sequences: the sequence $(1+1/n)^n$ is increasing and bounded above, and its limit is Euler’s number $e\approx 2{,}71828$. The section also shows its financial meaning (continuous compounding) and the graph that converges to the line $y = e$.

• The number e as a limit of a sequence
• Financial and graphical meaning

Il teorema sulle successioni monotone limitate ha un’applicazione celebre: definisce rigorosamente il numero $e$.

Teorema — Definizione di Eulero del numero $e$

La successione $e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ è crescente e limitata superiormente. Il suo limite è il numero di Eulero $e = \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828\ldots$

Essendo la successione $e_n$ monotona crescente e limitata superiormente, il teorema delle successioni monotone limitate garantisce che il limite esiste ed è finito: quel limite è, per definizione, il numero $e$.

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• e (Euler’s Number) — Numberphile

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Monotonia · Numero di nepero · Successione limitata
Metodi: Numero e via successione
Persone: Leonhard Euler (Eulero)

The theorem on bounded monotone sequences has a celebrated application: it rigorously defines the number $e$.

Theorem — Euler's definition of the number $e$

The sequence $e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ is increasing and bounded above. Its limit is Euler’s number $e = \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828\ldots$

Since the sequence $e_n$ is monotonically increasing and bounded above, the theorem on bounded monotone sequences guarantees that the limit exists and is finite: that limit is, by definition, the number $e$.

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Links

Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Monotonicity · Euler’s number · Bounded sequence
Methods: The number e via a sequence
People: Leonhard Euler (Eulero)

La successione $(1+1/n)^n$ non è un’astrazione: nasce dal problema della capitalizzazione degli interessi.

Osservazione — Significato finanziario

Investendo $1$ euro al tasso annuo del $100\%$ capitalizzato $n$ volte all’anno si ottiene $(1+1/n)^n$ euro a fine anno: $n = 1$ dà $2$ euro, $n = 12$ dà $\approx 2{,}613$, $n = 365$ dà $\approx 2{,}7146$, mentre $n\to\infty$ (capitalizzazione continua) dà $e\approx 2{,}71828$.

Il grafico mostra i primi termini della successione $e_n = (1+1/n)^n$ che salgono lentamente verso la retta orizzontale $y = e$: la successione cresce, ma resta sempre sotto il suo valore limite.

I punti rossi sono i termini $e_n = (1+1/n)^n$; la retta blu è il valore limite $y = e\approx 2{,}71828$. La successione è crescente e si avvicina a $e$ da sotto.

Collegamenti

Argomenti: Successioni
Concetti: Limite di successione · Numero di nepero
Competenze: Interpretare grafico · Modellizzare

The sequence $(1+1/n)^n$ is not an abstraction: it arises from the problem of compounding interest.

Observation — Financial meaning

Investing $1$ euro at an annual rate of $100\%$ compounded $n$ times a year yields $(1+1/n)^n$ euros at the end of the year: $n = 1$ gives $2$ euros, $n = 12$ gives $\approx 2{,}613$, $n = 365$ gives $\approx 2{,}7146$, while $n\to\infty$ (continuous compounding) gives $e\approx 2{,}71828$.

The graph shows the first terms of the sequence $e_n = (1+1/n)^n$ rising slowly towards the horizontal line $y = e$: the sequence increases, but always remains below its limiting value.

The red points are the terms $e_n = (1+1/n)^n$; the blue line is the limiting value $y = e\approx 2{,}71828$. The sequence is increasing and approaches $e$ from below.

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Topics: Sequences
Concepts: Limit of a sequence · Euler’s number
Skills: Interpreting a graph · Modelling