Grafici di funzioni goniometriche, esponenziale e logaritmica

Testo

Rappresenta i grafici seguenti:

(a) $y=-1+\dfrac12\cos\left(\dfrac x2+\dfrac\pi2\right)$

(b) $y=1+2\sin\left(2x+\dfrac\pi3\right)$

(c) $y=2-2\tan\left(-\dfrac x2+\dfrac\pi6\right)$

(d) $y=3-\log_3(2-2x)$

(e) $y=2-3^{x}$

Soluzione

(a) Traslazione verticale $a=-1$, ampiezza $\dfrac12$; da $c=\dfrac12$ il periodo è $T=4\pi$; i valori assunti stanno nell’intervallo $\left[-\dfrac32,\,-\dfrac12\right]$.

(b) Traslazione verticale $a=1$, ampiezza $2$; da $c=2$ il periodo è $T=\pi$; i valori assunti stanno nell’intervallo $[-1,\,3]$.

(c) Tangente con $c=-\dfrac12$, quindi periodo $T=2\pi$; il segno negativo nell’argomento produce una riflessione del grafico rispetto all’asse verticale.

(d) Il dominio richiede $2-2x>0$, cioè $x<1$; l’asintoto verticale è $x=1$. Si ha $y(0)=3-\log_3 2\approx 2{,}37$, e per $x\to1^-$ risulta $y\to+\infty$.

(e) È un’esponenziale riflessa, con asintoto orizzontale $y=2$ avvicinato da sotto; $y(0)=1$; lo zero si trova in $x=\log_3 2\approx 0{,}63$.

$\boxed{(a)\ T=4\pi;\ \ (b)\ T=\pi;\ \ (c)\ T=2\pi;\ \ (d)\ x=1;\ \ (e)\ y=2}$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Asintoto · Asintoto verticale · Periodicita · Traslazione
Funzioni: Coseno · Funzione esponenziale · Funzione logaritmica · Seno · Tangente
Competenze: Tracciare grafico · Usare formule
Tipo di esercizio: Studio di funzione