Tangente, fascio e angolo sulla circonferenza goniometrica

Testo

Sulla circonferenza goniometrica $x^{2}+y^{2}=1$ il punto $P$ è individuato dall’angolo $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$; sia $\mathcal{O}=(1,0)$ e sia $T$ l’intersezione della retta $OP$ con la tangente verticale $x=1$. a) Trova l’equazione della retta $OP$. b) Dimostra che $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ per ogni $\alpha$. c) Scrivi le coordinate di $T$ e dimostra che la sua ordinata vale $\tan\alpha$ (per $0\le\alpha\le\tfrac{\pi}{2}$). d) Determina il fascio di rette per $T$ e le due tangenti da $T$ alla circonferenza. e) Detto $P'$ il secondo punto di tangenza (diverso da $\mathcal{O}$), quanto vale $\alpha'=P'\hat{O}\mathcal{O}$?

Soluzione

a) $P=(\cos 30^\circ,\sin 30^\circ)=\left(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\right)$; la retta $OP$ ha coefficiente angolare $\tan 30^\circ$: $\;y=\dfrac{\sqrt3}{3}\,x$. b) Per definizione $P$ sta sulla circonferenza di raggio $1$: $\overline{OP}^{2}=\cos^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha=1$. c) $T$ ha ascissa $1$ e sta su $y=x\tan\alpha$, quindi $T=\left(1,\tan\alpha\right)=\left(1,\dfrac{\sqrt3}{3}\right)$; l’ordinata è $\tan\alpha\approx 0{,}5774$. d) Fascio per $T$: $y-\dfrac{\sqrt3}{3}=m(x-1)$. Imponendo distanza $1$ da $O$ si ottiene $m=-\dfrac{\sqrt3}{3}$; l’altra tangente è la retta verticale $x=1$ (tangente in $\mathcal{O}$). Tangenti: $x=1$ e $y=\dfrac{\sqrt3}{3}(2-x)$. e) Il piede della perpendicolare da $O$ alla seconda tangente è $P'=\left(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$, corrispondente all’angolo $60^\circ$. $\boxed{\,y=\tfrac{\sqrt3}{3}x\,;\quad T=\left(1,\tfrac{\sqrt3}{3}\right)\,;\quad \alpha'=60^\circ=\tfrac{\pi}{3}\,}$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Circonferenza goniometrica · Fascio di rette · Identita fondamentale · Retta · Retta tangente · Tangente goniometrica
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico