Porzioni di conica da equazioni con radice

Testo

Disegna le seguenti porzioni di conica, dopo aver stabilito le condizioni per $x$ e per $y$; ricava poi semiassi, vertici, fuochi e (se iperbole) asintoti.

• (a) $y=2+3\sqrt{4-x^2}$
• (b) $y=-1+2\sqrt{x^2-4x-5}$
• (c) $y=3-2\sqrt{x^2+6x+13}$

Soluzione

(a) CE $-2\le x\le2$; inoltre $y\ge2$. Quadrando: $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{36}=1$: ellisse di centro $(0;2)$, $a=2$ (oriz.), $b=6$ (vert.), $c=4\sqrt2$, fuochi $(0;2\pm4\sqrt2)$. La porzione è la metà superiore ($y\ge2$).

(b) CE $x\le-1\vee x\ge5$; $y\ge-1$. Quadrando: $\dfrac{(x-2)^2}{9}-\dfrac{(y+1)^2}{36}=1$: iperbole orizzontale, centro $(2;-1)$, $a=3$, $b=6$, vertici $(-1;-1),(5;-1)$, asintoti $y+1=\pm2(x-2)$. Porzione: le metà superiori dei due rami.

(c) CE $\forall x$ ($x^2+6x+13>0$); $y\le3$. Quadrando: $\dfrac{(y-3)^2}{16}-\dfrac{(x+3)^2}{4}=1$: iperbole verticale, centro $(-3;3)$, $a=4$ (vert.), $b=2$, vertici $(-3;7),(-3;-1)$, asintoti $y-3=\pm2(x+3)$. Porzione: le metà inferiori ($y\le3$).

$\boxed{\text{(a) ellisse (arco sup.); (b),(c) iperboli (metà rami)}}$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Asintoto · Condizioni di esistenza · Conica · Ellisse · Iperbole
Competenze: Geometria analitica · Studiare funzione
Tipo di esercizio: Problema geometrico