Elementi dell'ellisse

Dall’equazione canonica si leggono tutti gli elementi caratteristici dell’ellisse: semiassi, fuochi, vertici, eccentricità e direttrici. L’eccentricità $e=c/a$, compresa tra $0$ e $1$, misura quanto l’ellisse è “schiacciata”: vicino a $0$ è quasi una circonferenza, vicino a $1$ è molto allungata.

• Elementi dell’ellisse
• Esempio - determinare gli elementi
• Eccentricità e forma dell’ellisse

From the canonical equation all the characteristic elements of the ellipse can be read off: semi-axes, foci, vertices, eccentricity and directrices. The eccentricity $e=c/a$, lying between $0$ and $1$, measures how “flattened” the ellipse is: near $0$ it is almost a circle, near $1$ it is very elongated.

• Elements of the ellipse
• Example - determining the elements
• Eccentricity and shape of the ellipse

Una volta scritta l’equazione in forma canonica, ogni elemento dell’ellisse si ricava direttamente dai due denominatori $a^2$ e $b^2$.

Proprietà — Elementi dell'ellisse

Dall’equazione canonica $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ con $a > b > 0$:

• Semiassi: $a$ (maggiore, lungo $x$), $b$ (minore, lungo $y$).
• Fuochi: $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$ con $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.
• Vertici: $(\pm a; 0)$ e $(0; \pm b)$.
• Eccentricità: $e = c/a$, con $0 \le e < 1$. Più $e$ è vicino a $0$, più l’ellisse è “rotonda” (tendendo alla circonferenza); più $e$ è vicino a $1$, più l’ellisse è “schiacciata”.
• Direttrici: $x = \pm\tfrac{a}{e} = \pm\tfrac{a^2}{c}$, rette verticali esterne all’ellisse.

Attenzione al caso in cui $a < b$ (semiasse maggiore lungo $y$): tutti i ruoli si scambiano. I fuochi stanno sull’asse $y$, con $c = \sqrt{b^2 - a^2}$, l’eccentricità diventa $e = c/b$, e così via. Conviene sempre confrontare $a^2$ e $b^2$ prima di dire dove stanno i fuochi.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Direttrici · Eccentricita · Ellisse · Fuochi · Semiassi · Vertici
Competenze: Geometria analitica · Usare formule

Once the equation is written in canonical form, every element of the ellipse can be read off directly from the two denominators $a^2$ and $b^2$.

Property — Elements of the ellipse

From the canonical equation $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ with $a > b > 0$:

• Semi-axes: $a$ (major, along $x$), $b$ (minor, along $y$).
• Foci: $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$ with $c = \sqrt{a^2 - b^2}$.
• Vertices: $(\pm a; 0)$ and $(0; \pm b)$.
• Eccentricity: $e = c/a$, with $0 \le e < 1$. The closer $e$ is to $0$, the “rounder” the ellipse (tending to the circle); the closer $e$ is to $1$, the more “flattened” the ellipse.
• Directrices: $x = \pm\tfrac{a}{e} = \pm\tfrac{a^2}{c}$, vertical lines external to the ellipse.

Beware of the case in which $a < b$ (semi-major axis along $y$): all the roles are swapped. The foci lie on the $y$-axis, with $c = \sqrt{b^2 - a^2}$, the eccentricity becomes $e = c/b$, and so on. It is always best to compare $a^2$ and $b^2$ before saying where the foci lie.

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Topics: Ellipse
Concepts: Directrices · Eccentricity · Ellipse · Foci · Semi-axes · Vertices
Skills: Analytic geometry · Using formulae

Vediamo su un caso concreto come si leggono tutti gli elementi a partire dall’equazione canonica.

Esempio — Elementi di un'ellisse

Data $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, determinare semiassi, fuochi, eccentricità.

$a^2 = 25,\ b^2 = 9$: quindi $a = 5$, $b = 3$ (semiasse maggiore lungo $x$).

$c^2 = a^2 - b^2 = 16 \implies c = 4$. Fuochi $F_{1,2}(\pm 4; 0)$.

$e = c/a = 4/5 = 0{,}8$. Direttrici $x = \pm a^2/c = \pm 25/4$.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Direttrici · Eccentricita · Ellisse · Fuochi · Semiassi
Competenze: Calcolare · Geometria analitica

Let us see on a concrete case how all the elements are read off starting from the canonical equation.

Example — Elements of an ellipse

Given $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$, determine the semi-axes, foci and eccentricity.

$a^2 = 25,\ b^2 = 9$: hence $a = 5$, $b = 3$ (semi-major axis along $x$).

$c^2 = a^2 - b^2 = 16 \implies c = 4$. Foci $F_{1,2}(\pm 4; 0)$.

$e = c/a = 4/5 = 0{,}8$. Directrices $x = \pm a^2/c = \pm 25/4$.

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Topics: Ellipse
Concepts: Directrices · Eccentricity · Ellipse · Foci · Semi-axes
Skills: Calculating · Analytic geometry

L’eccentricità $e = c/a$ è il numero che governa la forma dell’ellisse, indipendentemente dalle sue dimensioni. A parità di semiasse maggiore $a$, cambiando $e$ si passa da una figura quasi circolare a una molto allungata.

Storia — Keplero e le orbite dei pianeti

Fino al Seicento si credeva, sulla scia di Tolomeo e Copernico, che i pianeti si muovessero lungo circonferenze. Studiando le minuziose osservazioni di Marte raccolte da Tycho Brahe, Giovanni Keplero trovò uno scarto di appena otto minuti d’arco che nessuna combinazione di cerchi riusciva a spiegare, e nel 1609 (Astronomia nova) enunciò la sua prima legge: ogni pianeta descrive un’ellisse di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. L’orbita terrestre ha eccentricità piccolissima ($e \approx 0{,}017$), quasi indistinguibile da un cerchio, mentre quella di Marte, con $e \approx 0{,}093$, è abbastanza schiacciata da rivelare l’errore del modello circolare (Boyer; Kline).

Tre ellissi con lo stesso semiasse maggiore $a$ ma diverse eccentricità: più $e$ è piccolo, più l’ellisse è “rotonda”; più $e$ si avvicina a $1$, più l’ellisse si schiaccia.

Nella simulazione seguente puoi variare i semiassi $a$ e $b$ e osservare come si spostano i fuochi e come cambia l’eccentricità $e$.

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Argomenti: Ellisse
Concetti: Circonferenza · Eccentricita · Ellisse
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico
Persone: Johannes Kepler (Keplero)

The eccentricity $e = c/a$ is the number that governs the shape of the ellipse, independently of its size. For a fixed semi-major axis $a$, changing $e$ takes us from an almost circular figure to a very elongated one.

History — Kepler and the orbits of the planets

Until the seventeenth century it was believed, following Ptolemy and Copernicus, that the planets moved along circles. Studying the meticulous observations of Mars collected by Tycho Brahe, Johannes Kepler found a discrepancy of just eight arc-minutes that no combination of circles could explain, and in 1609 (Astronomia nova) he stated his first law: every planet describes an ellipse with the Sun at one of the two foci. Earth’s orbit has a tiny eccentricity ($e \approx 0.017$), almost indistinguishable from a circle, while that of Mars, with $e \approx 0.093$, is flattened enough to reveal the error of the circular model (Boyer; Kline).

Three ellipses with the same semi-major axis $a$ but different eccentricities: the smaller $e$ is, the “rounder” the ellipse; the closer $e$ gets to $1$, the more the ellipse flattens.

In the following simulation you can vary the semi-axes $a$ and $b$ and watch how the foci move and how the eccentricity $e$ changes.

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Concepts: Circle · Eccentricity · Ellipse
Skills: Interpreting a graph · Plotting a graph