Ellisse

Nel capitolo sui luoghi geometrici abbiamo visto che la parabola nasce chiedendo che un punto sia equidistante da un fuoco e da una retta. L’ellisse nasce da una condizione analoga ma “raddoppiata”: invece di un solo fuoco se ne prendono due, e si chiede che la somma delle distanze da essi sia costante. Da questa semplice richiesta discende tutta la geometria dell’ellisse: la forma canonica $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, i semiassi $a$ e $b$, i fuochi a distanza $c=\sqrt{a^2-b^2}$ dal centro, l’eccentricità $e=c/a$ che ne misura lo “schiacciamento”, le direttrici, e infine il riconoscimento delle ellissi traslate tramite il completamento del quadrato. Vedremo anche che la circonferenza non è altro che un’ellisse degenere, quella di massima rotondità.

Sezioni

• Definizione e forma canonica
• Elementi dell’ellisse
• Circonferenza come ellisse degenerata
• Ellissi traslate e riconoscimento

Approfondimenti

• Costruzione con chiodi e spago

Esercizi

• Tutti gli esercizi del capitolo

In the chapter on loci we saw that the parabola arises by requiring a point to be equidistant from a focus and a line. The ellipse arises from an analogous but “doubled” condition: instead of a single focus we take two, and we require that the sum of the distances from them be constant. From this simple requirement the whole geometry of the ellipse follows: the canonical form $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$, the semi-axes $a$ and $b$, the foci at distance $c=\sqrt{a^2-b^2}$ from the centre, the eccentricity $e=c/a$ which measures its “flattening”, the directrices, and finally the recognition of translated ellipses through completing the square. We shall also see that the circle is nothing but a degenerate ellipse, the one of maximum roundness.

Sections

• Definition and canonical form
• Elements of the ellipse
• The circle as a degenerate ellipse
• Translated ellipses and recognition

Further topics

• Construction with nails and string

Exercises

• All the exercises in the chapter

Che cosa succede all’ellisse quando i due fuochi si avvicinano fino a coincidere? Il luogo non scompare: si trasforma in una figura che conosciamo già.

Osservazione — La circonferenza come caso limite

Se i due fuochi $F_1$ e $F_2$ coincidono (cioè $c = 0$), la definizione di ellisse diventa $d(P,F) + d(P,F) = 2a$, ovvero $d(P,F) = a$: è una circonferenza di centro $F$ e raggio $a$. La forma canonica ridiventa $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{a^2}=1$, cioè $x^2+y^2 = a^2$. Il parametro $b$ diventa uguale ad $a$, e l’eccentricità $e = c/a = 0$. Dunque la circonferenza è un caso limite di ellisse, quello di massima “rotondità”.

Collegamenti

Argomenti: Ellisse
Concetti: Circonferenza · Eccentricita · Ellisse · Fuochi

What happens to the ellipse when the two foci move together until they coincide? The locus does not disappear: it turns into a figure we already know.

Observation — The circle as a limiting case

If the two foci $F_1$ and $F_2$ coincide (that is $c = 0$), the definition of the ellipse becomes $d(P,F) + d(P,F) = 2a$, that is $d(P,F) = a$: it is a circle with centre $F$ and radius $a$. The canonical form becomes again $\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{a^2}=1$, that is $x^2+y^2 = a^2$. The parameter $b$ becomes equal to $a$, and the eccentricity $e = c/a = 0$. Hence the circle is a limiting case of the ellipse, the one of maximum “roundness”.

Links

Topics: Ellipse
Concepts: Circle · Eccentricity · Ellipse · Foci