Fascio per un punto e fascio a sostegno fisso

Testo

Data la parabola $y=-\dfrac{x^2}{8}+x+2$:

• (a) disegna la parabola;
• (b) scrivi, in funzione di un parametro $m$, l’equazione della retta generica passante per $P(-4;4)$;
• (c) determina i valori di $m$ per cui la retta è tangente, esterna o secante alla parabola;
• (d) considera le rette di equazione $ay-x+2=0$ al variare di $a$: mostra che passano tutte per uno stesso punto e determinalo;
• (e) dimostra che tali rette non possono mai essere tangenti alla parabola.

Soluzione

Il disegno della parabola (vertice $V(4;4)$, concavità verso il basso) è lasciato allo studente.

(b) Fascio proprio di sostegno $P(-4;4)$: $y-4=m(x+4)$, cioè $y=mx+4m+4$.

(c) Intersezione con la parabola: $-\dfrac{x^2}{8}+x+2=mx+4m+4$. Moltiplicando per $-8$ e ordinando: $x^2+(8m-8)x+(32m+16)=0, \qquad \Delta=64m^2-256m=64m(m-4).$

• tangenti $\Delta=0 \implies m=0 \ \vee\ m=4$;
• secanti $\Delta>0 \implies m<0 \ \vee\ m>4$;
• esterne $\Delta<0 \implies 0<m<4$.

(d) L’equazione $ay-x+2=0$ si scrive $a\cdot y+(-x+2)=0$: è un fascio le cui rette passano tutte per il punto comune alle “generatrici” $y=0$ e $-x+2=0$, cioè $x=2$, $y=0$. Il sostegno è $P(2;0)$.

(e) Per $a\neq 0$, $y=\dfrac{x-2}{a}$; sostituendo nella parabola e ordinando in $x$: $a x^2+(8-8a)x-16-16a=0, \qquad \Delta=64\big(2a^2-a+1\big).$ Il trinomio $2a^2-a+1$ ha $\Delta'=1-8<0$ ed è sempre positivo, quindi $\Delta>0$ per ogni $a\neq 0$: le rette sono sempre secanti, mai tangenti. (La retta $a=0$ è la verticale $x=2$, anch’essa non tangente.)

$\boxed{\text{tangenti: } m=0 \vee m=4;\quad \text{sostegno fisso } P(2;0);\quad \text{mai tangenti}}$

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Condizione di tangenza · Discriminante · Fascio di rette · Fascio proprio · Parametro del fascio · Sostegno del fascio
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico