Fascio di rette e condizione di tangenza a una parabola

Testo

Data la parabola $y=-\dfrac{x^2}{8}+x$:

• (a) disegna la parabola;
• (b) scrivi, in funzione di un parametro $m$, l’equazione della retta generica passante per $P(-3;2)$;
• (c) determina i valori di $m$ per cui la retta è tangente, esterna o secante alla parabola;
• (d) scrivi, in funzione di un parametro $q$, l’equazione della retta generica parallela alla retta $y=x$;
• (e) determina i valori di $q$ per cui la retta è tangente, esterna o secante alla parabola.

Soluzione

La parabola ha vertice in $V(4;2)$ e concavità verso il basso (il disegno è lasciato allo studente).

(b) Fascio proprio di sostegno $P(-3;2)$: $y-2=m(x+3)$, cioè $y=mx+3m+2$.

(c) Intersezione con la parabola: $-\dfrac{x^2}{8}+x=mx+3m+2$. Moltiplicando per $-8$ e ordinando: $x^2+(8m-8)x+(24m+16)=0, \qquad \Delta=(8m-8)^2-4(24m+16)=64m^2-224m=32m(2m-7).$

• tangenti $\Delta=0 \implies m=0 \ \vee\ m=\dfrac72$;
• secanti $\Delta>0 \implies m<0 \ \vee\ m>\dfrac72$;
• esterne $\Delta<0 \implies 0<m<\dfrac72$.

(d) Fascio improprio di rette parallele a $y=x$ (coefficiente angolare $1$): $y=x+q$.

(e) Intersezione: $-\dfrac{x^2}{8}+x=x+q \implies x^2=-8q$.

• tangente un’unica soluzione $\implies q=0$;
• secanti due soluzioni $\implies q<0$;
• esterne nessuna soluzione $\implies q>0$.

$\boxed{\text{tangenti: } m=0 \vee m=\tfrac72;\quad q=0}$

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Condizione di tangenza · Discriminante · Fascio di rette · Fascio improprio · Fascio proprio · Parametro del fascio
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico