Esempio — Tangenza a una parabola

Per la tangenza a una curva si mette a sistema la retta del fascio con la curva e si impone che il discriminante dell’equazione risolvente sia nullo. Va sempre controllata a parte la generatrice esclusa dalla parametrizzazione.

Esempio — Tangenza a una parabola

Nel fascio $f_k:\ y - 4 = m(x-0)$ di sostegno $P(0;4)$ determinare le rette tangenti alla parabola $y = x^2 - 2x - 2$.

Sistema retta–parabola: $\begin{cases} y = mx + 4 \\ y = x^2 - 2x - 2 \end{cases} \implies x^2 - (2+m)x - 6 = 0.$

Condizione di tangenza: $\Delta = 0$. $\Delta = (2+m)^2 + 24 = m^2 + 4m + 28.$ $\Delta = 0$ richiede $m^2 + 4m + 28 = 0$ con $\Delta_m = 16 - 112 = -96 < 0$: nessun valore reale. La parabola è “troppo lontana” dal punto $P$ — nessuna tangente passa per $P$.

Generatrice esclusa. Per correttezza, controlliamo se la retta verticale $x=0$ (non presente nel fascio parametrizzato da $m$) è tangente. Sostituendo $x=0$ nella parabola si ottiene $y = -2$, un unico punto: $x=0$ è una secante impropria, non tangente. Quindi la parabola non ha tangenti passanti per $P$.

Soluzione: $\boxed{\text{nessuna retta tangente}}$.

Collegamenti

Argomenti: Fasci di rette
Concetti: Discriminante · Fascio di rette · Fascio proprio · Parametro del fascio · Tangenza
Funzioni: Parabola · Retta
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi · Risolvere sistemi