Torta rettangolare divisa in tre parti da tagli paralleli alla diagonale

Testo

Una torta $ABCD$ rettangolare ha lati $AB=8$ e $BC=4$. La vuoi tagliare con due tagli paralleli alla stessa diagonale, in modo da ottenere tre fette di uguale area: due triangolari e una esagonale (non regolare). Determina i punti $E$ su $AD$ e $F$ su $CD$ tali che $EF$ sia un taglio adatto, e analogamente $G$ su $AB$ e $H$ su $BC$ per il secondo taglio $GH$.

Soluzione

Metto $A(0;0)$, $B(8;0)$, $C(8;4)$, $D(0;4)$; i tagli sono paralleli alla diagonale $AC$ (pendenza $\tfrac12$). L’area totale è $8\cdot4=32$, quindi ogni fetta vale $\dfrac{32}{3}$. Triangolo $DEF$ nell’angolo $D$. $E$ su $AD$ ($DE$ verticale) e $F$ su $CD$ ($DF$ orizzontale). Perché $EF\parallel AC$ deve essere $\dfrac{DE}{DF}=\dfrac12$, cioè $DF=2\,DE$. L’area del triangolo rettangolo $DEF$ è $\frac12\,DE\cdot DF=\frac12\,DE\cdot 2DE=DE^2=\frac{32}{3}\ \Longrightarrow\ DE=\sqrt{\tfrac{32}{3}}=\frac{4\sqrt6}{3}\approx3{,}27,$ e quindi $DF=2\,DE=\dfrac{8\sqrt6}{3}\approx6{,}53$ (entrambi entro i lati $AD=4$ e $CD=8$). Triangolo $BGH$ nell’angolo $B$. Per simmetria, con $G$ su $AB$ e $H$ su $BC$ e $GH\parallel AC$: $\;BG=2\,BH$ e $BH^2=\dfrac{32}{3}$, da cui $BH=\frac{4\sqrt6}{3}\approx3{,}27,\qquad BG=\frac{8\sqrt6}{3}\approx6{,}53.$ $\boxed{DE=BH=\tfrac{4\sqrt6}{3}\approx3{,}27,\qquad DF=BG=\tfrac{8\sqrt6}{3}\approx6{,}53.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Area · Equivalenza · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico · Problema modellizzazione