Corda per il baricentro parallela a un lato

Testo

Sia $G$ il baricentro di un triangolo $ABC$. Per $G$ si conduce la retta parallela al lato $BC$, che incontra $AB$ in $X$ e $AC$ in $Y$.

• (a) Dimostra che la corda $XY$ è i $\tfrac{2}{3}$ del lato $BC$.
• (b) Sapendo che $\overline{BC}=15$, calcola $\overline{XY}$.

Soluzione

(a) Sia $M$ il punto medio di $BC$; la mediana $AM$ passa per il baricentro $G$, che la divide in modo che $\frac{\overline{AG}}{\overline{AM}}=\frac{2}{3}.$ Poiché $XY\parallel BC$, i triangoli $AXY$ e $ABC$ hanno l’angolo $\hat A$ in comune e gli angoli $\widehat{AXY}\cong\widehat{ABC}$ (corrispondenti): per il primo criterio $AXY\sim ABC$. Nella similitudine il rapporto tra i lati omologhi è pari al rapporto delle rispettive altezze uscenti da $A$; ma la retta $XY$ dista da $A$ quanto $G$, mentre $BC$ dista quanto $M$, dunque il rapporto è $k=\frac{\overline{AG}}{\overline{AM}}=\frac{2}{3}.$ Di conseguenza $\overline{XY}=k\cdot\overline{BC}=\frac{2}{3}\,\overline{BC}.\qquad\blacksquare$

(b) Con $\overline{BC}=15$: $\overline{XY}=\frac{2}{3}\cdot 15=10.$ $\boxed{\overline{XY}=10.}$

Collegamenti

Argomenti: Similitudine
Concetti: Baricentro · Proporzione · Triangoli simili
Metodi: Similitudine criteri
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico