Teorema della mediana e calcolo di una mediana

Testo

Sia $ABC$ un triangolo e sia $AM$ la mediana relativa al lato $BC$ ($M$ punto medio di $BC$).

• (a) Dimostra il teorema della mediana: la somma dei quadrati di due lati è uguale al doppio della somma del quadrato della metà del terzo lato e del quadrato della mediana ad esso relativa, cioè $\overline{AB}^{\,2}+\overline{AC}^{\,2}=2\left[\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2+\overline{AM}^{\,2}\right].$
• (b) Sapendo che $\overline{BC}=9$, $\overline{CA}=8$, $\overline{AB}=7$, calcola la lunghezza della mediana $\overline{AM}$.

Soluzione

(a) Dimostrazione. Poniamo $\overline{AM}=m$, $\overline{BM}=\overline{MC}=\dfrac{\overline{BC}}{2}$ e indichiamo con $\theta=\widehat{AMB}$; allora $\widehat{AMC}=180^\circ-\theta$. Applichiamo il teorema del coseno ai due triangoli $ABM$ e $ACM$: $\overline{AB}^{\,2}=m^2+\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2-2\,m\,\frac{\overline{BC}}{2}\cos\theta,$ $\overline{AC}^{\,2}=m^2+\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2-2\,m\,\frac{\overline{BC}}{2}\cos(180^\circ-\theta).$ Poiché $\cos(180^\circ-\theta)=-\cos\theta$, sommando membro a membro i termini con il coseno si elidono: $\overline{AB}^{\,2}+\overline{AC}^{\,2}=2m^2+2\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2=2\left[\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2+\overline{AM}^{\,2}\right].$ Questo è il teorema della mediana. $\;\blacksquare$

(b) Calcolo numerico. Ricaviamo $\overline{AM}$ dalla formula: $\overline{AM}^{\,2}=\frac{\overline{AB}^{\,2}+\overline{AC}^{\,2}}{2}-\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2=\frac{7^2+8^2}{2}-\left(\frac{9}{2}\right)^2=\frac{49+64}{2}-\frac{81}{4}.$ $\overline{AM}^{\,2}=\frac{113}{2}-\frac{81}{4}=\frac{226-81}{4}=\frac{145}{4}=36{,}25.$ $\overline{AM}=\sqrt{36{,}25}=\frac{\sqrt{145}}{2}\approx 6{,}021.$ $\boxed{\overline{AM}=\frac{\sqrt{145}}{2}\approx 6{,}021}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Mediana · Teorema di pitagora
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico