Il quadrato sulla diagonale è doppio del quadrato

Testo

Sia $ABCD$ un quadrato di lato $\ell$ e diagonale $AC$.

• (a) Dimostra che il quadrato costruito sulla diagonale $AC$ è equivalente al doppio del quadrato $ABCD$.
• (b) Posto $\ell=7$, calcola la lunghezza della diagonale $\overline{AC}$.

Soluzione

(a) Dimostrazione. La diagonale $AC$ divide il quadrato nel triangolo rettangolo $ABC$, retto in $B$, i cui cateti $AB$ e $BC$ misurano entrambi $\ell$. Per il teorema di Pitagora: $\overline{AC}^{\,2}=\overline{AB}^{\,2}+\overline{BC}^{\,2}=\ell^2+\ell^2=2\ell^2.$ Il quadrato costruito sulla diagonale ha area $\overline{AC}^{\,2}=2\ell^2$, mentre il quadrato $ABCD$ ha area $\ell^2$. Dunque il primo è il doppio del secondo. $\;\blacksquare$

(b) Calcolo numerico. Con $\ell=7$: $\overline{AC}=\sqrt{2\ell^2}=\ell\sqrt2=7\sqrt2\approx 9{,}899.$ $\boxed{\overline{AC}=7\sqrt2\approx 9{,}899}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Diagonale · Quadrato · Teorema di pitagora
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico