Teorema di Pitagora

È il teorema più celebre della geometria elementare. Lo dimostriamo per equivalenza di aree, sfruttando l’idea dell’equiscomponibilità.

Teorema — di Pitagora

In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. $\begin{cases} AC \perp BC \\ ABHI,\; AEDC,\; CBFG \text{ quadrati} \end{cases} \implies ABHI \doteq AEDC + CBFG$

Dimostrazione

L’altezza $CK$, prolungata fino a $M$, divide il quadrato sull’ipotenusa in due rettangoli, ciascuno equivalente a uno dei quadrati costruiti sui cateti.

1. Traccia $CK\perp AB$ e prolungala fino al lato $HI$ del quadrato sull’ipotenusa (punto $M$). La retta $KM$ divide il quadrato grande in due rettangoli.
2. Si verifica che il rettangolo $AKMI$ è equivalente al quadrato $AEDC$ (costruito sul cateto $AC$): entrambi hanno la stessa base e la stessa altezza.
3. Con lo stesso ragionamento, il rettangolo $KBHM$ è equivalente al quadrato $CBFG$ (costruito sul cateto $BC$).
4. Sommando i due rettangoli si ricompone il quadrato sull’ipotenusa: $AKMI + KBHM = ABHI$, dunque $c^2 = a^2+b^2$.

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Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Area · Equiscomponibilita · Equivalenza · Quadrato · Teorema di pitagora · Triangolo rettangolo
Metodi: Equivalenza figure · Pitagora
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Persone: Pitagora