Parabola: vertice, intersezioni e distanza da un punto

Testo

Data la parabola $y=x^2-4x-1$:

• (a) trovane il vertice;
• (b) le intersezioni con gli assi $x$ e $y$;
• (c) disegnala;
• (d) determina la distanza tra il vertice e il punto $A(3;3)$;
• (e) stabilisci se $B(1;1)$ appartiene alla parabola.

Soluzione

Coefficienti $a=1$, $b=-4$, $c=-1$; $a>0$ concavità verso l’alto.

(a) Vertice. $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2, \qquad y_V=2^2-4(2)-1=4-8-1=-5$ quindi $V(2;-5)$.

(b) Intersezioni con gli assi. Asse $x$: $x^2-4x-1=0 \Rightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+4}}{2}=2\pm\sqrt5\approx 4.236,\ -0.236$. Asse $y$: $x=0 \Rightarrow y=-1$, cioè $(0;-1)$.

(c) Grafico. Parabola con concavità verso l’alto, vertice $V(2;-5)$, che taglia l’asse $x$ in $2\pm\sqrt5$ e l’asse $y$ in $(0;-1)$.

(d) Distanza $V$–$A$. Con $V(2;-5)$ e $A(3;3)$: $d(V,A)=\sqrt{(3-2)^2+(3+5)^2}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65}\approx 8.062$

(e) Appartenenza di $B(1;1)$. $y(1)=1-4-1=-4\neq1$, quindi $B$ non appartiene alla parabola. $\boxed{V(2;-5)\quad (0;-1)\quad d(V,A)=\sqrt{65}\approx8.062\quad B\notin\text{parabola}}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Distanza tra punti · Parabola · Piano cartesiano · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico