Intersezione retta-parabola e appartenenza di un punto

Testo

Data la retta $R:3x+2y-3=0$, la parabola $L:y=\dfrac{x^2}{3}+x-3$, la parabola $G:y=-\dfrac{x^2}{4}+4$ e il punto $P(3;-2)$:

• (a) determina l’intersezione tra $L$ e $R$;
• (b) determina la distanza tra $R$ e $P$;
• (c) stabilisci se $P$ appartiene a $L$, a $G$, o a nessuna delle due.

Soluzione

(a) Intersezione $L\cap R$. Dalla retta: $y=\dfrac{3-3x}{2}$. Uguaglio a $L$ e moltiplico per $6$: $\frac{3-3x}{2}=\frac{x^2}{3}+x-3 \;\Longrightarrow\; 9-9x=2x^2+6x-18 \;\Longrightarrow\; 2x^2+15x-27=0$ $x=\frac{-15\pm\sqrt{225+216}}{4}=\frac{-15\pm\sqrt{441}}{4}=\frac{-15\pm21}{4}$ da cui $x=\dfrac{6}{4}=\dfrac32$ (allora $y=\dfrac{3-4.5}{2}=-0.75$) e $x=-9$ (allora $y=\dfrac{3+27}{2}=15$). I punti sono $\left(\tfrac32;-\tfrac34\right)$ e $(-9;15)$.

(b) Distanza $R$–$P$. Con $R:3x+2y-3=0$ e $P(3;-2)$: $d(R,P)=\frac{|3\cdot3+2(-2)-3|}{\sqrt{3^2+2^2}}=\frac{|9-4-3|}{\sqrt{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}\approx 0.555$

(c) Appartenenza di $P(3;-2)$. $L$: $\dfrac{3^2}{3}+3-3=3\neq-2$; $G$: $-\dfrac{3^2}{4}+4=1.75\neq-2$. Quindi $P$ non appartiene né a $L$ né a $G$. $\boxed{L\cap R:\left(\tfrac32;-\tfrac34\right),\ (-9;15)\quad d(R,P)=\tfrac{2\sqrt{13}}{13}\approx0.555\quad P\notin L,\ P\notin G}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Distanza punto retta · Intersezione retta parabola · Parabola · Retta · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico