Due parabole: vertici, intersezioni e distanza tra i vertici

Testo

Date le parabole $L:y=\dfrac{x^2}{3}+x-3$ e $G:y=-\dfrac{x^2}{4}+4$:

• (a) determina i vertici;
• (b) le intersezioni con l’asse $x$;
• (c) le intersezioni con l’asse $y$;
• (d) disegnale;
• (e) determina la distanza tra i vertici di $L$ e $G$.

Soluzione

(a) Vertici. Per $L$: $a=\dfrac13$, $b=1$, quindi $x_{V_L}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2/3}=-\dfrac32$ e $y_{V_L}=\frac13\left(-\tfrac32\right)^2+\left(-\tfrac32\right)-3=\frac34-\frac32-3=-\frac{15}{4}=-3.75$ quindi $V_L\left(-\tfrac32;-\tfrac{15}{4}\right)$. Per $G$: $a=-\dfrac14$, $b=0$, quindi $x_{V_G}=0$ e $y_{V_G}=4$, cioè $V_G(0;4)$.

(b) Intersezioni con l’asse $x$. $L$: $\dfrac{x^2}{3}+x-3=0 \Rightarrow x^2+3x-9=0 \Rightarrow x=\dfrac{-3\pm\sqrt{45}}{2}=\dfrac{-3\pm3\sqrt5}{2}\approx 1.854,\ -4.854$. $G$: $-\dfrac{x^2}{4}+4=0 \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow x=\pm4$: punti $(-4;0)$ e $(4;0)$.

(c) Intersezioni con l’asse $y$ (pongo $x=0$). $L$: $y=-3 \Rightarrow (0;-3)$. $G$: $y=4 \Rightarrow (0;4)$.

(d) Grafico. $L$ ha concavità verso l’alto, vertice $V_L(-1.5;-3.75)$; $G$ ha concavità verso il basso, vertice $V_G(0;4)$.

(e) Distanza tra i vertici. $d(V_L,V_G)=\sqrt{\left(0+\tfrac32\right)^2+\left(4+\tfrac{15}{4}\right)^2}=\sqrt{\tfrac94+\left(\tfrac{31}{4}\right)^2}=\sqrt{2.25+60.0625}=\sqrt{62.3125}\approx 7.894$ $\boxed{V_L\left(-\tfrac32;-\tfrac{15}{4}\right)\quad V_G(0;4)\quad d(V_L,V_G)\approx7.894}$

Collegamenti

Argomenti: Parabola
Concetti: Discriminante · Distanza tra punti · Parabola · Piano cartesiano · Vertice
Funzioni: Parabola
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico