Problema — Le bisettrici di un rettangolo formano un quadrato

Testo

Sia $EFGH$ un rettangolo (non quadrato). Dimostra che le bisettrici dei suoi quattro angoli interni individuano un quadrato.

(figura originale: rettangolo $EFGH$ con le quattro bisettrici e il quadrato da esse individuato)

Soluzione

Poiché un rettangolo è in particolare un parallelogramma, per il risultato sulle bisettrici del parallelogramma il quadrilatero individuato dalle quattro bisettrici è già un rettangolo. Siano $P$, $Q$, $R$, $S$ le intersezioni delle bisettrici relative alle coppie di vertici consecutivi $(E,F)$, $(F,G)$, $(G,H)$, $(H,E)$: dunque $PQRS$ è un rettangolo. Resta da mostrare che due suoi lati consecutivi sono congruenti.

Consideriamo l’asse di simmetria $\sigma$ del rettangolo perpendicolare ai lati $EF$ e $GH$ (la retta che passa per i punti medi di $EF$ e di $GH$). La simmetria rispetto a $\sigma$ scambia $E\leftrightarrow F$ e $H\leftrightarrow G$, e manda la bisettrice di ciascun angolo nella bisettrice dell’angolo corrispondente. Di conseguenza:

• $P$, intersezione delle bisettrici di $E$ e $F$, appartiene all’asse $\sigma$ ed è quindi unito: $\sigma(P)=P$;
• $Q$ (bisettrici di $F$ e $G$) viene mandato in $S$ (bisettrici di $E$ e $H$), cioè $\sigma(Q)=S$.

Poiché una simmetria conserva le distanze e $\sigma(P)=P$, $\sigma(Q)=S$, il segmento $PQ$ viene mandato nel segmento $PS$: perciò $PQ\cong PS$. Ma $PQ$ e $PS$ sono due lati consecutivi del rettangolo $PQRS$: un rettangolo con due lati consecutivi congruenti è un quadrato. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Bisettrice · Quadrato · Retta · Rettangolo
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione