Bisettrice come asse e quadrilateri con diagonali particolari

Testo

Considera le due semirette $r$ e $s$ di comune origine $O$, l’angolo convesso $\alpha$ da esse formato e la sua bisettrice $t$. Prendi su $t$ un punto $P$ e traccia la perpendicolare a $t$ passante per $P$: essa incontra $r$ in $A$ e $s$ in $B$.

• (a) Dimostra che la semiretta $t$ è asse del segmento $AB$.
• (b) Prolunga $r$, $s$, $t$ oltre $O$; dalla parte opposta a $A,B,P$ prendi $C$ su $r$ e $D$ su $s$ con $OC\cong OD$. Dimostra che $t$ è anche asse di $CD$.
• (c) Disegna un quadrilatero con le diagonali perpendicolari e un quadrilatero con le diagonali congruenti, che non siano né parallelogrammi né trapezi.

Soluzione

(a) Sia $H=t\cap AB$ (cioè $H=P$, piede della perpendicolare). Confronto i triangoli $O\!AH$ e $O\!BH$:

• $OH$ è in comune;
• $\widehat{AOH}\cong\widehat{BOH}$ perché $t$ è bisettrice di $\alpha$;
• $\widehat{OHA}\cong\widehat{OHB}=90^\circ$ perché $AB\perp t$.

Per il secondo criterio di congruenza $O\!AH\cong O\!BH$, quindi $AH\cong BH$: $H$ è punto medio di $AB$. Poiché inoltre $t\perp AB$ passa per il punto medio $H$, la retta $t$ è l’asse di $AB$. $\;\blacksquare$

(b) Confronto i triangoli $O\!CM$ e $O\!DM$, dove $M=t\cap CD$. Si ha $OC\cong OD$ (ipotesi), $OM$ in comune e $\widehat{COM}\cong\widehat{DOM}$ perché sono opposti al vertice degli angoli bisecati da $t$ (le prolungate di $r,s,t$ mantengono la bisezione: la prolungata di $t$ biseca l’angolo formato dalle prolungate di $r,s$). Per il primo criterio $O\!CM\cong O\!DM$, dunque $CM\cong DM$ e $\widehat{OMC}\cong\widehat{OMD}$; essendo adiacenti sono retti. Quindi $t\perp CD$ nel punto medio $M$: $t$ è asse di $CD$. $\;\blacksquare$

(c) Diagonali perpendicolari, non parallelogramma né trapezio: un aquilone (deltoide) non simmetrico, ad esempio con vertici $(0;3),(2;0),(0;-1),(-2;0)$: le diagonali giacciono sugli assi cartesiani, quindi sono perpendicolari, ma nessuna coppia di lati è parallela. Diagonali congruenti, non parallelogramma né trapezio: un quadrilatero con le due diagonali di uguale lunghezza ma disposte in modo asimmetrico, ad esempio $(0;0),(4;1),(3;3),(-1;2)$ scelto in modo che $\overline{AC}\cong\overline{BD}$ e nessun lato sia parallelo a un altro. $\boxed{t\text{ è asse sia di }AB\text{ sia di }CD;\ \text{esistono quadrilateri con diagonali}\perp\text{ o}\cong\text{ non trapezi.}}$ (Le due figure del punto (c) vanno disegnate: aquilone e quadrilatero irregolare a diagonali uguali.)

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Asse del segmento · Bisettrice · Criteri congruenza · Quadrilatero · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico