Problema — Angolo tra due bisettrici interne di un triangolo

Testo

In un triangolo $ABC$ si tracciano le bisettrici degli angoli interni di vertici $A$ e $B$, che si incontrano nel punto $I$. Dimostra che l’angolo ottuso $\widehat{AIB}$ è uguale a un angolo retto aumentato della metà del terzo angolo $\widehat{ACB}$. Applica poi il risultato al caso in cui $\widehat{ACB} = 50^\circ$.

Soluzione

Dimostrazione. Indichiamo con $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ le ampiezze degli angoli interni di vertici $A$, $B$, $C$; vale $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

La bisettrice di vertice $A$ forma con il lato $AB$ un angolo $\widehat{IAB} = \dfrac{\alpha}{2}$; la bisettrice di vertice $B$ forma con $AB$ un angolo $\widehat{IBA} = \dfrac{\beta}{2}$. Nel triangolo $AIB$ la somma degli angoli interni dà $\widehat{AIB} = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}.$ Poiché $\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma$, sostituendo si ottiene $\widehat{AIB} = 180^\circ - \frac{180^\circ - \gamma}{2} = 180^\circ - 90^\circ + \frac{\gamma}{2} = 90^\circ + \frac{\gamma}{2}.$ L’angolo $\widehat{AIB}$ è quindi un angolo retto aumentato di metà del terzo angolo, ed è ottuso perché $\gamma > 0^\circ$. $\;\blacksquare$

Caso numerico. Con $\gamma = \widehat{ACB} = 50^\circ$: $\widehat{AIB} = 90^\circ + \frac{50^\circ}{2} = 90^\circ + 25^\circ = 115^\circ.$ $\boxed{\widehat{AIB} = 115^\circ}$

Collegamenti

Argomenti: Geometria euclidea
Concetti: Angolo · Bisettrice · Retta
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Problema geometrico