Selezione di un gruppo con combinatoria e probabilità condizionata

Testo

Nella 4G ci sono $21$ studenti; se ne estraggono a sorte $4$ per un’olimpiade.

(a) In quanti modi si forma il gruppo? Spiega la formula.

(b) Qual è la probabilità che Lucia venga selezionata?

(c) Qual è la probabilità che vengano selezionati entrambi Lucia e Marco?

(d) Qual è la probabilità che venga selezionato almeno uno fra Lucia e Marco?

Soluzione

(a) L’ordine di estrazione non conta e gli studenti sono tutti distinti, senza ripetizione: sono combinazioni semplici di $21$ elementi presi $4$ alla volta: $\binom{21}{4} = 5985$

(b) I gruppi che contengono Lucia si ottengono fissando lei e scegliendo i restanti $3$ tra i $20$ studenti rimasti: $P(\text{Lucia}) = \frac{\binom{20}{3}}{\binom{21}{4}} = \frac{1140}{5985} = \frac{4}{21} \approx 0{,}190$

(c) I gruppi che contengono sia Lucia sia Marco si ottengono fissando entrambi e scegliendo i restanti $2$ tra i $19$ studenti rimasti: $P(\text{Lucia}\cap\text{Marco}) = \frac{\binom{19}{2}}{\binom{21}{4}} = \frac{171}{5985} = \frac{1}{35} \approx 0{,}0286$

(d) Per la formula dell’unione (principio di inclusione-esclusione), poiché $P(\text{Marco})=P(\text{Lucia})=\dfrac{4}{21}$: $P(\text{almeno uno}) = \frac{4}{21} + \frac{4}{21} - \frac{1}{35} = \frac{37}{105} \approx 0{,}352$

$\boxed{\binom{21}{4}=5985;\ P(L)=\tfrac{4}{21};\ P(L\cap M)=\tfrac{1}{35};\ P(\text{almeno uno})=\tfrac{37}{105}}$

Collegamenti

Argomenti: Combinatoria · Probabilita
Concetti: Casi favorevoli casi possibili · Coefficiente binomiale · Combinazioni · Probabilita condizionata · Unione di eventi
Metodi: Combinazioni semplici · Prob condizionata
Competenze: Calcolo combinatorio · Calcolo probabilita
Tipo di esercizio: Problema probabilita