Gioco a somma non nulla tra Ortega e il cane

Testo

Ortega estrae talvolta una pistola vera, talvolta una finta; il cane può mordere o no. Le vincite (cane; Ortega) sono:

	Cane morde	Cane non morde
Pistola vera	(+2; −7)	(−3; +4)
Pistola finta	(−4; −2)	(+3; −5)

(a) Scrivi la tabella del gioco.

(b) Il cane morde a caso metà delle volte ($50/50$): trova la strategia migliore per Ortega.

(c) Il cane copia Ortega mordendo con la stessa probabilità $p$ con cui Ortega mostra la pistola vera: scrivi la vincita media del cane in funzione di $p$ e dimostra che è massimizzata per $p=0$; determina anche il valore di $p$ che massimizza la vincita di Ortega.

Soluzione

(a) La tabella dei payoff è quella data nel testo.

(b) Se il cane morde con probabilità $0{,}5$ indipendentemente dalla scelta di Ortega, la vincita media di Ortega con la pistola vera è $0{,}5\cdot(-7) + 0{,}5\cdot4 = -1{,}5$ mentre con la pistola finta è $0{,}5\cdot(-2) + 0{,}5\cdot(-5) = -3{,}5$ Conviene quindi mostrare sempre la pistola vera (vincita media $-1{,}5$, meno negativa).

(c) Sia $p$ la probabilità che Ortega mostri la pistola vera, e il cane morde con la stessa probabilità $p$. La vincita media del cane è $E_{\text{cane}}(p) = p\big[2p - 3(1-p)\big] + (1-p)\big[-4p + 3(1-p)\big] = 12p^2 - 13p + 3$ Questa è una parabola concava verso l’alto (coefficiente di $p^2$ positivo), quindi il massimo si trova a uno degli estremi dell’intervallo $[0,1]$: $E_{\text{cane}}(0)=3$ e $E_{\text{cane}}(1)=2$, dunque il massimo è in $p=0$ (il cane non morde mai).

La vincita media di Ortega è $E_{\text{Ortega}}(p) = p\big[-7p + 4(1-p)\big] + (1-p)\big[-2p - 5(1-p)\big] = -14p^2 + 12p - 5$ Parabola concava verso il basso: il massimo è nel vertice $p = \frac{12}{2\cdot14} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7} \approx 0{,}429$

$\boxed{\text{(b) pistola vera};\ p_{\text{cane}}=0;\ p_{\text{Ortega}}=\tfrac37\approx0{,}43}$

Collegamenti

Argomenti: Probabilita
Concetti: Gioco a somma non nulla · Matrice di payoff · Strategia mista · Teoria dei giochi · Valore atteso
Metodi: Strategia mista · Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione