Valore atteso e gioco equo

Quando un esito è incerto ma comporta una vincita o una perdita, il criterio più semplice per valutarlo è il valore atteso: la media delle vincite pesata con le probabilità. Da esso nasce l’idea di gioco equo (valore atteso nullo) e la sua controparte concreta, il margine che le case di scommesse si garantiscono fissando le quote. Questi esempi mostrano come calcolare il valore atteso di una scommessa e come, all’inverso, ricavare la quota da imporre per ottenere un margine voluto.

• Valore atteso
• Gioco equo
• Esempio — Quota e margine del banco
• Esempio — Calcolare la quota da imporre

When an outcome is uncertain but entails a win or a loss, the simplest criterion for assessing it is the expected value: the mean of the winnings weighted by the probabilities. From it arises the idea of a fair game (zero expected value) and its concrete counterpart, the margin that betting houses secure by setting the odds. These examples show how to compute the expected value of a bet and how, conversely, to derive the odds to set in order to obtain a desired margin.

• Expected value
• Fair game
• Example — Odds and the house margin
• Example — Working out the odds to set

Il valore atteso è lo strumento base per valutare una scommessa: riassume in un solo numero “quanto ci si aspetta di vincere in media”.

Definizione — Valore atteso (vincita media)

Sia data una partizione $\{e_1,\ldots,e_n\}$ dell’universo (ad esempio gli esiti di un esperimento) con probabilità $p_i = P(e_i)$ e vincita netta associata $v_i$ (positiva se si guadagna, negativa se si perde). Si chiama valore atteso (o vincita media) della scommessa: $\bar V = \sum_{i=1}^n p_i\, v_i.$ È la media pesata delle vincite, con peso uguale alla probabilità di ciascun esito.

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Valore atteso · Variabile aleatoria
Metodi: Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita · Usare formule

The expected value is the basic tool for assessing a bet: it summarises in a single number “how much one expects to win on average”.

Definition — Expected value (average winnings)

Let a partition $\{e_1,\ldots,e_n\}$ of the universe be given (for example the outcomes of an experiment) with probabilities $p_i = P(e_i)$ and associated net winnings $v_i$ (positive if one gains, negative if one loses). The expected value (or average winnings) of the bet is: $\bar V = \sum_{i=1}^n p_i\, v_i.$ It is the weighted mean of the winnings, with weight equal to the probability of each outcome.

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Topics: Probability
Concepts: Expected value · Random variable
Methods: Expected value
Skills: Probability calculation · Using formulae

Un gioco è “giusto” quando nessuno dei due contendenti è avvantaggiato. Il valore atteso fornisce il criterio preciso per stabilirlo.

Definizione — Gioco equo

Un gioco si dice equo (o “a somma zero” per il giocatore) se $\bar V = 0$. In tal caso non c’è un vantaggio sistematico né per il banco né per il giocatore. Quando $\bar V<0$ il giocatore perde in media (e il banco si garantisce un margine); quando $\bar V>0$ il giocatore vince in media (situazione che le case di scommesse evitano).

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Gioco equo · Valore atteso
Metodi: Gioco equo
Competenze: Calcolo probabilita

A game is “fair” when neither of the two contenders is favoured. The expected value provides the precise criterion for deciding this.

Definition — Fair game

A game is said to be fair (or “zero-sum” for the player) if $\bar V = 0$. In that case there is no systematic advantage either for the house or for the player. When $\bar V<0$ the player loses on average (and the house secures a margin); when $\bar V>0$ the player wins on average (a situation that betting houses avoid).

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Topics: Probability
Concepts: Fair game · Expected value
Methods: Fair game
Skills: Probability calculation

Le quote di una scommessa non riflettono mai esattamente la probabilità dell’evento: la differenza è il guadagno garantito del banco. Questo esempio la rende quantitativa.

Esempio — Quota 1,5:1 e margine del banco

Una casa di scommesse propone quota $1,5:1$ sull’evento $B$ (“Zverev batte Medvedev”): scommettendo $1$ EUR e vincendo, ne ricevi $1,5$ (di cui $0,5$ EUR di vincita netta e $1$ EUR di restituzione). Supponiamo $P(B)=0,6$.

Scommetto $100$ EUR. Se vinco intasco $50$ EUR netti, se perdo perdo $100$ EUR. $\bar V = 0,6\cdot 50 + 0,4\cdot(-100) = 30 - 40 = -10 \text{ EUR}.$ Il valore atteso è negativo: in media perdo $10$ EUR ogni $100$ EUR scommessi, cioè il banco si tiene un margine del $10\%$.

Quota equa. Affinché il gioco sia equo dovremmo avere $\bar V=0$, cioè $0,6\cdot x + 0,4\cdot(-100)=0$, da cui $x = 100\cdot 0,4/0,6 \approx 66,\overline{6}$ EUR. La quotazione equa sarebbe perciò circa $1,66:1$ (e non $1,5:1$).

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Argomenti: Probabilita
Concetti: Gioco equo · Valore atteso
Metodi: Gioco equo · Valore atteso
Competenze: Calcolo probabilita · Modellizzare

The odds of a bet never reflect exactly the probability of the event: the difference is the house’s guaranteed profit. This example makes it quantitative.

Example — Odds 1,5:1 and the house margin

A betting house offers odds of $1,5:1$ on the event $B$ (“Zverev beats Medvedev”): betting $1$ EUR and winning, you receive $1,5$ (of which $0,5$ EUR is net winnings and $1$ EUR is the return of the stake). Suppose $P(B)=0,6$.

I bet $100$ EUR. If I win I pocket $50$ EUR net, if I lose I lose $100$ EUR. $\bar V = 0,6\cdot 50 + 0,4\cdot(-100) = 30 - 40 = -10 \text{ EUR}.$ The expected value is negative: on average I lose $10$ EUR for every $100$ EUR bet, that is, the house keeps a margin of $10\%$.

Fair odds. For the game to be fair we would need $\bar V=0$, that is $0,6\cdot x + 0,4\cdot(-100)=0$, from which $x = 100\cdot 0,4/0,6 \approx 66,\overline{6}$ EUR. The fair pricing would therefore be about $1,66:1$ (and not $1,5:1$).

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Methods: Fair game · Expected value
Skills: Probability calculation · Modelling

Ribaltiamo il problema: nota la probabilità e il margine desiderato, quanto deve pagare la scommessa? Basta imporre il valore atteso voluto e risolvere per la vincita netta.

Esempio — Calcolare la quota da imporre

Supponiamo che la probabilità dell’evento “Zverev vince e Sinner vince” sia $0,2$. Una casa di scommesse vuole garantirsi un margine del $10\%$ sui $100$ EUR scommessi (cioè $\bar V = -10$). A quanto deve quotare l’evento?

Si imposta l’equazione con vincita netta incognita $x$: $0,2\cdot x + 0,8\cdot(-100) = -10 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{70}{0,2} = 350 \text{ EUR}.$ La vincita netta deve essere $350$ EUR; restituendo anche i $100$ EUR scommessi, il banco paga $450$ EUR per ogni $100$ EUR puntati: quota $4,5:1$.

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Let us reverse the problem: given the probability and the desired margin, how much should the bet pay out? It is enough to impose the wanted expected value and solve for the net winnings.

Example — Working out the odds to set

Suppose the probability of the event “Zverev wins and Sinner wins” is $0,2$. A betting house wants to secure a margin of $10\%$ on the $100$ EUR bet (that is, $\bar V = -10$). What odds should it set for the event?

One sets up the equation with unknown net winnings $x$: $0,2\cdot x + 0,8\cdot(-100) = -10 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{70}{0,2} = 350 \text{ EUR}.$ The net winnings must be $350$ EUR; returning also the $100$ EUR staked, the house pays $450$ EUR for every $100$ EUR wagered: odds of $4,5:1$.

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