Prodotto di fattori con tabella del segno

Testo

Risolvere la disequazione: $\left(\sin x + \frac{1}{2}\right)\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) \ge 0$

Soluzione

Si studia il segno dei due fattori su $[0,2\pi)$.

• Fattore 1: $\sin x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \iff \sin x \ge -\dfrac{1}{2}$; si annulla in $\dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$ ed è positivo in $\left[0,\dfrac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$.
• Fattore 2: $2\cos x - \sqrt{3} \ge 0 \iff \cos x \ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}$; si annulla in $\dfrac{\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}$ ed è positivo in $\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$.

Tabella del segno:

$x$	$\left[0,\tfrac{\pi}{6}\right)$	$\left(\tfrac{\pi}{6},\tfrac{7\pi}{6}\right)$	$\left(\tfrac{7\pi}{6},\tfrac{11\pi}{6}\right)$	$\left(\tfrac{11\pi}{6},2\pi\right)$
$\sin x+\tfrac{1}{2}$	$+$	$+$	$-$	$+$
$2\cos x-\sqrt{3}$	$+$	$-$	$-$	$+$
prodotto	$+$	$-$	$+$	$+$

La disequazione $\ge 0$ è soddisfatta dove il prodotto è positivo o nullo (inclusi gli zeri dei fattori): $\boxed{\;x\in\left[0,\frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{6},2\pi\right)\;}$ con la consueta generalizzazione per periodicità ($+2k\pi$).

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Scomposizione in fattori · Studio del segno · Tabella del segno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Interpretare grafico · Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione