Grafico di funzione logaritmica e asintoto (III)

Testo

Disegna la seguente funzione, dopo averne trovato l’asintoto verticale: $y=-\dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}\log_{1/2}(4-x)$

Soluzione

Dominio e asintoto verticale. L’argomento deve essere positivo: $4-x>0 \iff x<4$. L’asintoto verticale è la retta $x=4$.

Riscrittura. Poiché $\log_{1/2}(u)=-\log_2(u)$: $y=-\tfrac32+\tfrac52\log_2(4-x).$ Al crescere di $x$ l’argomento $4-x$ diminuisce, quindi la funzione è decrescente; per $x\to4^{-}$ si ha $y\to-\infty$.

Punti utili:

• $4-x=1 \Rightarrow x=3,\ y=-\tfrac32$;
• $4-x=2 \Rightarrow x=2,\ y=-\tfrac32+\tfrac52=1$;
• $4-x=4 \Rightarrow x=0,\ y=-\tfrac32+5=\tfrac72$.

Curva decrescente che da $x=0$ scende verso l’asintoto $x=4$ (dove $y\to-\infty$) passando per $(0,\tfrac72)$, $(2,1)$, $(3,-\tfrac32)$.

$\boxed{\text{asintoto verticale }x=4}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Asintoto · Cambiamento di base · Dominio · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Tracciare grafico · Usare formule
Tipo di esercizio: Studio di funzione