Disequazione razionale esponenziale-logaritmica

Testo

Risolvi la seguente disequazione scrivendo una regola del segno che comprenda anche le condizioni di esistenza: $\frac{4-\left(\tfrac12\right)^{x-3}}{\big[\log_2 x-1\big]\big[\log_{1/2}(6-x)\big]}\ge 0.$

Soluzione

Condizioni di esistenza: $x>0$ (per $\log_2 x$), $6-x>0\Rightarrow x<6$, e i fattori a denominatore non nulli: $\log_2 x-1\ne0\Rightarrow x\ne 2$, $\log_{1/2}(6-x)\ne0\Rightarrow 6-x\ne1\Rightarrow x\ne 5$. Dominio: $(0,6)\setminus\{2,5\}$. Numeratore $N=4-2^{3-x}$: $N\ge0\Leftrightarrow 2^{3-x}\le 4=2^{2}\Leftrightarrow 3-x\le 2\Leftrightarrow x\ge 1$. Denominatore. $\log_2 x-1>0\Leftrightarrow x>2$; $\log_{1/2}(6-x)>0\Leftrightarrow 6-x<1\Leftrightarrow x>5$. Quindi il prodotto è positivo su $(0,2)$ e $(5,6)$, negativo su $(2,5)$. Tabella del segno su $(0,6)$: il quoziente è $\ge0$ dove $N$ e $D$ hanno lo stesso segno (oppure $N=0$). $\boxed{\,1\le x<2\ \ \lor\ \ 5<x<6\,}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione esponenziale · Disequazione logaritmica · Studio del segno · Tabella del segno
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione