Grafico e proprietà

Il grafico della funzione esponenziale ha sempre la stessa forma, qualunque sia la base ammissibile: passa per il punto $(0;1)$, resta sempre sopra l’asse $x$ (che è un asintoto orizzontale) e cresce se $a>1$, decresce se $0<a<1$. Da queste poche proprietà — dominio, immagine, monotonia, iniettività, asintoto — discende tutto ciò che serve per risolvere equazioni e disequazioni esponenziali.

• Proprietà della funzione esponenziale
• Il grafico e la famiglia di esponenziali

The graph of the exponential function always has the same shape, whatever the admissible base: it passes through the point $(0;1)$, it always stays above the $x$-axis (which is a horizontal asymptote) and it increases if $a>1$, decreases if $0<a<1$. From these few properties — domain, image, monotonicity, injectivity, asymptote — follows everything needed to solve exponential equations and inequalities.

• Properties of the exponential function
• The graph and the family of exponentials

Raccogliamo in un unico elenco tutte le proprietà della funzione esponenziale: sono le stesse per ogni base ammissibile, con l’unica differenza tra crescita ($a>1$) e decrescita ($0<a<1$).

Proprietà — La funzione esponenziale

Per ogni base ammissibile $a>0,\ a\ne 1$:

• Dominio: $\mathbb{R}$.
• Immagine: $(0;+\infty)$, cioè la funzione è sempre strettamente positiva.
• Intersezioni: $\exp_a(0) = a^0 = 1$, quindi il grafico passa per $(0;1)$. Non c’è nessuna intersezione con l’asse $x$ (è un errore ricorrente degli studenti).
• Monotonia: strettamente crescente se $a > 1$, strettamente decrescente se $0 < a < 1$.
• Iniettività: la stretta monotonia implica l’iniettività; poiché l’immagine $(0;+\infty)$ coincide con il codominio, la funzione è biunivoca da $\mathbb{R}$ in $(0;+\infty)$ e dunque ammette inversa (il logaritmo, del prossimo capitolo).
• Asintoti: l’asse $x$ ($y=0$) è asintoto orizzontale. Se $a>1$ lo è verso $-\infty$; se $0<a<1$ lo è verso $+\infty$.

La proprietà più usata negli esercizi è l’iniettività: da $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ si può dedurre $f(x)=g(x)$, cioè “togliere la base”. È proprio la biunivocità a garantire, inoltre, l’esistenza della funzione inversa, il logaritmo.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Asintoto · Biunivocita · Dominio · Funzione inversa · Immagine · Iniettivita · Monotonia
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Studiare funzione

Let us collect in a single list all the properties of the exponential function: they are the same for every admissible base, with the only difference between growth ($a>1$) and decay ($0<a<1$).

Properties — The exponential function

For every admissible base $a>0,\ a\ne 1$:

• Domain: $\mathbb{R}$.
• Image: $(0;+\infty)$, that is the function is always strictly positive.
• Intersections: $\exp_a(0) = a^0 = 1$, so the graph passes through $(0;1)$. There is no intersection with the $x$-axis (a recurring mistake among students).
• Monotonicity: strictly increasing if $a > 1$, strictly decreasing if $0 < a < 1$.
• Injectivity: strict monotonicity implies injectivity; since the image $(0;+\infty)$ coincides with the codomain, the function is a bijection from $\mathbb{R}$ onto $(0;+\infty)$ and therefore admits an inverse (the logarithm, of the next chapter).
• Asymptotes: the $x$-axis ($y=0$) is a horizontal asymptote. If $a>1$ it is so towards $-\infty$; if $0<a<1$ it is so towards $+\infty$.

The property most used in exercises is injectivity: from $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ one can deduce $f(x)=g(x)$, that is “remove the base”. It is precisely the bijectivity that also guarantees the existence of the inverse function, the logarithm.

Links

Topics: Exponential function
Concepts: Asymptote · Bijectivity · Domain · Inverse function · Image · Injectivity · Monotonicity
Functions: Exponential function
Skills: Analysing a function

Conviene tenere in mente un grafico “base” e ricavare gli altri per riflessione.

Osservazione — Grafico mentale

Un grafico “base” da tenere a mente è $y=2^x$: crescente, passa per $(0;1)$, per $(1;2)$, per $(-1;1/2)$, con l’asse $x$ come asintoto a sinistra e divergenza a destra. Il grafico di $y=(1/2)^x$ è quello di $y=2^x$ riflesso rispetto all’asse $y$ (perché $(1/2)^x = 2^{-x}$): passa ancora per $(0;1)$ ma decresce, con asintoto a destra.

Famiglia di esponenziali: tutte le curve passano per $(0;1)$ perché $a^0=1$. Le curve con $a>1$ crescono verso destra, quelle con $0<a<1$ decrescono; l’asse $x$ è asintoto orizzontale da un lato.

Da questo quadro emerge la regola pratica: più grande è la base $a>1$, più ripida è la crescita; e passare da $a$ a $1/a$ equivale a specchiare il grafico rispetto all’asse $y$.

Nella simulazione seguente puoi variare la base $a$ e osservare come cambia il grafico di $y=a^x$: crescita per $a>1$, decrescita per $0<a<1$, e in ogni caso passaggio per $(0;1)$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Asintoto · Base · Crescita esponenziale
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Interpretare grafico · Tracciare grafico

It is convenient to keep in mind a “base” graph and to obtain the others by reflection.

Observation — A mental graph

A “base” graph to keep in mind is $y=2^x$: increasing, passing through $(0;1)$, through $(1;2)$, through $(-1;1/2)$, with the $x$-axis as asymptote on the left and divergence on the right. The graph of $y=(1/2)^x$ is that of $y=2^x$ reflected in the $y$-axis (because $(1/2)^x = 2^{-x}$): it still passes through $(0;1)$ but decreases, with an asymptote on the right.

Family of exponentials: all the curves pass through $(0;1)$ because $a^0=1$. The curves with $a>1$ increase towards the right, those with $0<a<1$ decrease; the $x$-axis is a horizontal asymptote on one side.

From this picture the practical rule emerges: the larger the base $a>1$, the steeper the growth; and passing from $a$ to $1/a$ amounts to reflecting the graph in the $y$-axis.

In the following simulation you can vary the base $a$ and watch how the graph of $y=a^x$ changes: growth for $a>1$, decay for $0<a<1$, and in every case passage through $(0;1)$.

Links

Topics: Exponential function
Concepts: Asymptote · Base · Exponential growth
Functions: Exponential function
Skills: Interpreting a graph · Sketching a graph