Funzioni: linguaggio e proprietà

Fin dalla Prima abbiamo lavorato con “funzioni” — la retta, la parabola, il valore assoluto, i radicali, l’omografica — trattandole però sempre caso per caso, attribuendo a ciascuna una lista di proprietà specifiche. In questo capitolo facciamo un passo indietro e introduciamo il linguaggio generale delle funzioni: dominio, codominio, immagine, iniettività, suriettività, funzione inversa, monotonia, concavità. È una terminologia uniforme che ci permette di parlare allo stesso modo di tutte le funzioni, vecchie e nuove. Chiudono il capitolo le funzioni definite a tratti e un’applicazione economica — domanda, offerta ed equilibrio di mercato — che mostra come queste idee modellino situazioni reali.

Sezioni

• Definizione di funzione
• Iniettività, suriettività, biunivocità
• Funzione inversa
• Monotonia
• Concavità e convessità
• Dominio naturale
• Funzioni definite a tratti
• Applicazione: domanda, offerta, equilibrio di mercato

Esercizi

• Tutti gli esercizi svolti del capitolo

Ever since Year One we have worked with “functions” — the straight line, the parabola, the absolute value, radicals, the rational (homographic) function — but always treating them case by case, assigning to each a list of specific properties. In this chapter we take a step back and introduce the general language of functions: domain, codomain, image, injectivity, surjectivity, inverse function, monotonicity, concavity. It is a uniform terminology that lets us speak in the same way about all functions, old and new. The chapter closes with piecewise-defined functions and an economic application — demand, supply and market equilibrium — which shows how these ideas model real situations.

Sections

• Definition of a function
• Injectivity, surjectivity, bijectivity
• Inverse function
• Monotonicity
• Concavity and convexity
• Natural domain
• Piecewise-defined functions
• Application: demand, supply, market equilibrium

Exercises

• All the worked exercises of the chapter

La monotonia descrive se una funzione “sale” o “scende” in modo coerente al crescere di $x$.

Definizione — Funzione crescente, decrescente, monotona

Una funzione $f$ si dice, su un sottoinsieme $I$ del suo dominio:

• crescente se $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ (cioè al crescere di $x$ cresce $y$);
• decrescente se $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$;
• monotona se è crescente oppure decrescente (strettamente).

Se l’implicazione vale con $\le$ e $\ge$ invece che con $<$ e $>$, si parla di funzione non-decrescente o non-crescente.

Proprietà — Monotonia stretta e iniettività

Se $f$ è strettamente monotona su tutto il suo dominio $A$, allora è iniettiva. Il viceversa non è vero: una funzione iniettiva può oscillare. Ad esempio $f(x) = -x$ su $x<0$ e $f(x)=x$ su $x\ge 0$ è iniettiva ma non monotona su tutto $\mathbb{R}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione iniettiva · Monotonia

Monotonicity describes whether a function “rises” or “falls” consistently as $x$ increases.

Definition — Increasing, decreasing, monotonic function

A function $f$ is said, on a subset $I$ of its domain, to be:

• increasing if $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$ (that is, as $x$ increases $y$ increases);
• decreasing if $x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)$;
• monotonic if it is increasing or decreasing (strictly).

If the implication holds with $\le$ and $\ge$ instead of $<$ and $>$, we speak of a non-decreasing or non-increasing function.

Property — Strict monotonicity and injectivity

If $f$ is strictly monotonic on the whole of its domain $A$, then it is injective. The converse is not true: an injective function can oscillate. For example $f(x) = -x$ on $x<0$ and $f(x)=x$ on $x\ge 0$ is injective but not monotonic on the whole of $\mathbb{R}$.

Links

Topics: Functions and properties
Concepts: Injective function · Monotonicity

Oltre a “salire” o “scendere”, il grafico di una funzione può curvare “verso l’alto” o “verso il basso”: è la distinzione tra convessità e concavità.

Definizione — Convessa e concava

Una funzione $f$ è convessa su un intervallo $I$ se, presi due punti $A$ e $B$ del suo grafico in $I$, il segmento $AB$ sta sopra o sul grafico (“a pancia in su”, $\cup$). È concava se, invece, il segmento $AB$ sta sotto o sul grafico (“a pancia in giù”, $\cap$).

Osservazione

Le parabole con $a > 0$ sono convesse su tutto $\mathbb{R}$; quelle con $a < 0$ sono concave. La funzione $y = |x|$ è convessa su $\mathbb{R}$. La funzione omografica $y = 1/x$ è convessa su $(0;+\infty)$ e concava su $(-\infty;0)$. Il cambio di comportamento è un punto di flesso, concetto che riprenderemo in Quarta con le derivate.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Concavita · Convessita · Punto di flesso
Funzioni: Funzione omografica · Parabola · Valore assoluto
Competenze: Interpretare grafico

Besides “rising” or “falling”, the graph of a function can curve “upwards” or “downwards”: this is the distinction between convexity and concavity.

Definition — Convex and concave

A function $f$ is convex on an interval $I$ if, taking two points $A$ and $B$ of its graph in $I$, the segment $AB$ lies above or on the graph (“belly up”, $\cup$). It is concave if instead the segment $AB$ lies below or on the graph (“belly down”, $\cap$).

Remark

Parabolas with $a > 0$ are convex on the whole of $\mathbb{R}$; those with $a < 0$ are concave. The function $y = |x|$ is convex on $\mathbb{R}$. The homographic function $y = 1/x$ is convex on $(0;+\infty)$ and concave on $(-\infty;0)$. The change of behaviour is an inflection point, a concept we shall return to in Year Four with derivatives.

Links

Topics: Functions and properties
Concepts: Concavity · Convexity · Inflection point
Functions: Homographic function · Parabola · Absolute value
Skills: Interpreting a graph

Spesso una funzione viene data tramite la sua “formula”, senza specificare il dominio. In tal caso per dominio naturale si intende l’insieme più grande di $\mathbb{R}$ su cui la formula ha senso.

In sintesi — Vincoli più comuni per il dominio naturale

• Denominatori: non devono annullarsi.
• Radici di indice pari: l’argomento deve essere $\ge 0$.
• Logaritmi (vedremo fra poco): l’argomento deve essere $> 0$.
• Valore assoluto, radici di indice dispari, polinomi: nessun vincolo (dominio $\mathbb{R}$).

Il dominio naturale è l’intersezione di tutti i vincoli.

Esempio

Determinare il dominio naturale di $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$.

Vincoli: $x - 1 \ge 0$ (radice) e $x - 3 \ne 0$ (denominatore). Intersezione: $x \ge 1 \wedge x \ne 3$, cioè $\boxed{[1;3)\cup(3;+\infty)}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Dominio · Dominio naturale
Competenze: Ragionare per casi · Studiare funzione

Often a function is given through its “formula”, without specifying the domain. In that case the natural domain is understood to be the largest subset of $\mathbb{R}$ on which the formula makes sense.

In brief — The most common constraints for the natural domain

• Denominators: must not vanish.
• Even-index roots: the argument must be $\ge 0$.
• Logarithms (which we shall see shortly): the argument must be $> 0$.
• Absolute value, odd-index roots, polynomials: no constraint (domain $\mathbb{R}$).

The natural domain is the intersection of all the constraints.

Example

Determine the natural domain of $f(x) = \dfrac{\sqrt{x-1}}{x-3}$.

Constraints: $x - 1 \ge 0$ (root) and $x - 3 \ne 0$ (denominator). Intersection: $x \ge 1 \wedge x \ne 3$, that is $\boxed{[1;3)\cup(3;+\infty)}$.

Links

Topics: Functions and properties
Concepts: Domain · Natural domain
Skills: Reasoning by cases · Studying a function