Definizione di funzione

Che cos’è, esattamente, una funzione? L’idea intuitiva di “legge che trasforma un ingresso in un’uscita” va resa precisa: il cuore della definizione è l’unicità dell’immagine. Da qui nascono i tre insiemi che accompagnano ogni funzione — dominio, codominio e immagine — e la distinzione, spesso trascurata, tra l’ambiente di destinazione e i valori effettivamente assunti.

• Che cos’è una funzione
• Dominio, codominio e immagine

What, exactly, is a function? The intuitive idea of a “law that turns an input into an output” needs to be made precise: the heart of the definition is the uniqueness of the image. From this arise the three sets that accompany every function — domain, codomain and image — and the distinction, often overlooked, between the destination environment and the values actually taken.

• What a function is
• Domain, codomain and image

Il concetto di funzione formalizza l’idea di una “legge” che a ogni ingresso associa una e una sola uscita.

Definizione — Funzione

Dati due insiemi non vuoti $A$ e $B$, una funzione $f$ da $A$ a $B$ (si scrive $f:A\to B$) è una legge che a ogni elemento $x\in A$ associa uno e un solo elemento $y\in B$, detto immagine di $x$ tramite $f$ e indicato con $f(x)$.

Osservazione — L'unicità dell'immagine

La condizione “uno e un solo” è cruciale. Una legge che associa a $x = 2$ sia $y=3$ sia $y=5$ non è una funzione. Una legge che a $x = 2$ non associa nessun $y$ non è una funzione su tutto $A$ (ma può esserlo su un sottoinsieme di $A$, che sarà allora il suo “dominio naturale”).

Storia — L'evoluzione del concetto di funzione

La definizione moderna di funzione, così astratta, è il punto d’arrivo di un lungo cammino. Il termine functio fu coniato da Gottfried Leibniz verso il 1673 per indicare grandezze geometriche legate ai punti di una curva; Leonhard Euler, nell’Introductio in analysin infinitorum (1748), ne diede la prima definizione esplicita come “espressione analitica” costruita con operazioni a partire da una variabile. Solo con Peter Gustav Lejeune Dirichlet, nel 1837, si giunse all’idea odierna: una funzione è una qualunque corrispondenza che a ogni $x$ associa un solo $y$, senza che occorra una formula che la esprima (Boyer; Katz).

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Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Funzione · Immagine
Persone: Peter Gustav Lejeune Dirichlet · Leonhard Euler (Eulero) · Gottfried Leibniz

The concept of a function formalises the idea of a “law” that associates one and only one output with each input.

Definition — Function

Given two non-empty sets $A$ and $B$, a function $f$ from $A$ to $B$ (written $f:A\to B$) is a law that associates with each element $x\in A$ one and only one element $y\in B$, called the image of $x$ under $f$ and denoted $f(x)$.

Remark — The uniqueness of the image

The “one and only one” condition is crucial. A law that associates with $x = 2$ both $y=3$ and $y=5$ is not a function. A law that associates no $y$ with $x = 2$ is not a function on the whole of $A$ (but it may be one on a subset of $A$, which will then be its “natural domain”).

History — The evolution of the function concept

The modern, highly abstract definition of a function is the endpoint of a long journey. The term functio was coined by Gottfried Leibniz around 1673 to denote geometric quantities attached to the points of a curve; Leonhard Euler, in his Introductio in analysin infinitorum (1748), gave the first explicit definition of it as an “analytic expression” built from operations on a variable. Only with Peter Gustav Lejeune Dirichlet, in 1837, was today’s idea reached: a function is any correspondence that associates a single $y$ with each $x$, with no need for a formula to express it (Boyer; Katz).

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Concepts: Function · Image
People: Gottfried Leibniz · Leonhard Euler (Eulero) · Peter Gustav Lejeune Dirichlet

A ogni funzione sono associati tre insiemi, che è importante non confondere.

Definizione — Dominio, codominio, immagine

• Il dominio di una funzione $f:A\to B$ è l’insieme $A$ degli elementi su cui $f$ è definita.
• Il codominio è l’insieme $B$, cioè l’ambiente “di destinazione”.
• L’immagine (o insieme immagine) è $\mathrm{Im}(f) = \{f(x) : x\in A\}\subseteq B$, cioè i valori che la funzione effettivamente assume.

Attenzione — Codominio e immagine non coincidono

Codominio e immagine non coincidono in generale. Il codominio è l’insieme-contenitore, che dichiariamo a priori; l’immagine è l’insieme dei valori raggiunti. Per esempio $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, ha codominio $\mathbb{R}$ ma immagine $[0,+\infty)$, perché i quadrati sono non negativi.

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Concetti: Codominio · Dominio · Immagine
Funzioni: Parabola

Three sets are associated with every function, and it is important not to confuse them.

Definition — Domain, codomain, image

• The domain of a function $f:A\to B$ is the set $A$ of the elements on which $f$ is defined.
• The codomain is the set $B$, that is, the “destination” environment.
• The image (or image set) is $\mathrm{Im}(f) = \{f(x) : x\in A\}\subseteq B$, that is, the values that the function actually takes.

Careful — Codomain and image do not coincide

The codomain and the image do not coincide in general. The codomain is the container set, which we declare in advance; the image is the set of values that are reached. For example $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, $f(x)=x^2$, has codomain $\mathbb{R}$ but image $[0,+\infty)$, because squares are non-negative.

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Functions: Parabola

La definizione astratta di funzione — una legge che a ogni elemento del dominio associa una sola immagine — sembra oggi ovvia, ma è il frutto di più di un secolo e mezzo di riflessione. Ripercorrerne le tappe aiuta a capire perché la definizione moderna è formulata proprio così, insistendo sulla corrispondenza e non sulla formula.

Leibniz conia il termine

La parola funzione compare per la prima volta negli scritti di Gottfried Wilhelm Leibniz intorno al 1673. Per Leibniz una “funzione” era una grandezza geometrica che dipende dai punti di una curva: la lunghezza di una tangente, di una normale, di una sottotangente. Il termine nasce dunque legato alla geometria e al calcolo differenziale, non ancora all’idea di una corrispondenza fra numeri. Nel carteggio con Johann Bernoulli il concetto si affina, e proprio Bernoulli, nel 1718, propone di chiamare funzione “una quantità composta in un modo qualsiasi a partire da una variabile e da costanti”.

Euler la definisce

È Leonhard Euler a dare al concetto la sua prima sistemazione. Nell’Introductio in analysin infinitorum (1748) egli scrive che

una funzione di una quantità variabile è un’espressione analitica composta in un modo qualunque a partire da quella quantità variabile e da numeri o quantità costanti.

Qui la funzione è di fatto una formula: un’espressione come $x^2 + 1$, $\sin x$, $\log x$. Euler introduce anche la notazione $f(x)$, che usiamo ancora. Più tardi, studiando il problema della corda vibrante, lo stesso Euler si rese conto che questa definizione era troppo stretta: una corda pizzicata assume un profilo fatto di più tratti, che nessuna singola espressione analitica descrive. Cominciò così a farsi strada un’idea più ampia di funzione come curva “disegnata liberamente”.

Dirichlet la generalizza

Il passo decisivo è di Peter Gustav Lejeune Dirichlet, nel 1837. Studiando la convergenza delle serie di Fourier, egli abbandona del tutto l’idea che una funzione debba essere data da una formula e propone la definizione moderna: $y$ è funzione di $x$ su un intervallo se a ogni valore di $x$ corrisponde un solo valore di $y$, comunque questa corrispondenza sia stabilita, anche a parole o caso per caso. Per mostrare quanto la definizione fosse generale, Dirichlet esibì la celebre funzione

oggi detta funzione di Dirichlet: una funzione perfettamente definita che nessuna espressione elementare può rappresentare e il cui grafico è impossibile da tracciare. Da qui in poi ciò che conta è la corrispondenza, non la formula — esattamente lo spirito della definizione che usiamo in questo capitolo.

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Concetti: Funzione
Persone: Peter Gustav Lejeune Dirichlet · Leonhard Euler (Eulero) · Gottfried Leibniz

The abstract definition of a function — a law that associates a single image with each element of the domain — seems obvious today, but it is the fruit of more than a century and a half of reflection. Retracing its stages helps us understand why the modern definition is phrased exactly as it is, insisting on the correspondence rather than on a formula.

Leibniz coins the term

The word function first appears in the writings of Gottfried Wilhelm Leibniz around 1673. For Leibniz a “function” was a geometric quantity depending on the points of a curve: the length of a tangent, a normal, a subtangent. The term is thus born tied to geometry and the differential calculus, not yet to the idea of a correspondence between numbers. In his correspondence with Johann Bernoulli the concept is refined, and it is Bernoulli himself who, in 1718, proposes to call a function “a quantity composed in any manner whatsoever from a variable and constants”.

Euler defines it

It is Leonhard Euler who gives the concept its first systematic form. In the Introductio in analysin infinitorum (1748) he writes that

a function of a variable quantity is an analytic expression composed in any manner whatsoever from that variable quantity and from numbers or constant quantities.

Here a function is essentially a formula: an expression such as $x^2 + 1$, $\sin x$, $\log x$. Euler also introduces the notation $f(x)$ that we still use. Later, while studying the problem of the vibrating string, Euler himself realised that this definition was too narrow: a plucked string takes on a profile made of several pieces that no single analytic expression describes. In this way a broader idea of a function as a “freely drawn” curve began to take shape.

Dirichlet generalises it

The decisive step is due to Peter Gustav Lejeune Dirichlet, in 1837. While studying the convergence of Fourier series, he abandons entirely the idea that a function must be given by a formula and proposes the modern definition: $y$ is a function of $x$ on an interval if to each value of $x$ there corresponds a single value of $y$, however that correspondence is established — even in words, or case by case. To show how general the definition was, Dirichlet exhibited the celebrated function

known today as the Dirichlet function: a perfectly well-defined function that no elementary expression can represent and whose graph is impossible to draw. From this point on, what matters is the correspondence, not the formula — exactly the spirit of the definition we use in this chapter.

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